3.6 Suites qui tendent vers l'infini

Dans les sections précédentes, on a surtout considéré les suites convergentes, c'est-à-dire celles qui tendent vers une limite finie lorsque \(n\to\infty\).

On n'étudiera pas systématiquement les suites divergentes, dont les comportements peuvent être aussi compliqués que variés, mais nous introduirons quand-même quelques outils qui permettront de décrire certains de ces comportements divergents.

Par exemple, une classe importante de suites divergentes est celle des suites qui tendent vers l'infini.

Soit \((a_n)\) une suite réelle.
  1. On dit que \((a_n)\) tend vers \(+\infty\) (lorsque \(n\to\infty\)) si pour tout \(M\gt 0\) il existe un entier positif \(N_0\) (qui dépend en général de \(M\)) tel que \[ a_n\geqslant M\qquad \forall n\geqslant N_0\,. \] On notera, formellement, \(\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=+\infty}\), ou simplement \(a_n\to+\infty\).
  2. On dit que \((a_n)\) tend vers \(-\infty\) (lorsque \(n\to\infty\)) si pour tout \(M\lt 0\) il existe un entier positif \(N_0\) (qui dépend en général de \(M\)) tel que \[ a_n\leqslant M\qquad \forall n\geqslant N_0\,. \] On notera (formellement) \(\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=-\infty}\), ou simplement \(a_n\to-\infty\).

Donc \(a_n\) tend vers \(+\infty\) si elle dépasse et reste au-dessus de n'importe quel seuil \(M>0\) (sous-entendu: arbitrairement grand) lorsque son indice \(n\) est pris suffisamment grand.

Sur l'animation suivante, fixer une valeur du seuil \(M\gt 0\), puis chercher un \(N\) tel que \(a_n\geqslant M\) pour tout \(n\geqslant N\):

Exemple: Montrons que la suite \((a_n)\) définie par \[a_n=\frac{2n-5}{7}\,\] tend vers \(+\infty\). Pour cela, fixons un seuil arbitraire \(M>0\), et remarquons que \[ a_n\geqslant M\quad \Leftrightarrow \quad \frac{2n-5}{7}\geqslant M \quad \Leftrightarrow \quad n\geqslant \frac{7M+5}{2}\,. \] Soit donc \(N:= \lfloor \frac{7M+5}{2} \rfloor +1\). Si \(n\geqslant N\), alors \(n\geqslant \frac{7M+5}{2}\) et donc \(a_n\geqslant M\). Comme on peut trouver un tel \(N\) pour tout seuil \(M\gt 0\), ceci montre bien que \(a_n\to\infty\).

Exemple: Considérons ensuite \[a_n=\frac{n^2}{n+1}\,,\] et montrons que \(a_n\to \infty\). Pour un seuil \(M>0\), on a \[ a_n\geqslant M\quad \Leftrightarrow \quad n^2-Mn-M\geqslant 0 \] Le polynôme \(P(x)=x^2-Mx-M\) possède deux racines, \[x_\pm=\frac{M\pm \sqrt{M^2+4M}}{2}\,,\] et il est positif partout en dehors de l'intervalle \([x_-,x_+]\). En définissant \(N:= \lfloor x_+\rfloor+1\), on a bien \(a_n\geqslant M\) dès que \(n\geqslant N\).

Propriétés des suites qui tendent vers l'infini

Tout comme les suites convergentes, celles qui tendent vers l'infini obéissent à certaines propriétés.

Théorème: Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites. Si \(a_n\to +\infty\),

  1. alors \(\frac{1}{a_n}\to 0\).
  2. et si \(b_n\to +\infty\), alors \(a_n+b_n\to+\infty\) et \(a_nb_n\to+\infty\).
  3. et si \(b_n\) est bornée, alors \(a_n+b_n\to +\infty\) et \(\frac{b_n}{a_n}\to 0\).
  4. et s'il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(b_n\geqslant \delta\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(a_nb_n\to+\infty\). (En particulier, si \(b_n\to L\), avec \(L\gt 0\), alors \(a_nb_n\to +\infty\).)
  5. et si \(b_n\geqslant a_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(b_n\to+\infty\). (Théorème du ''Chien méchant'')

Exemple: Considérons la suite \[ x_n=n^3-7\sin(\tfrac{n}{2})\cos(\sqrt{n})\,, \] que l'on peut écrire comme \(x_n=a_n+b_n\), où \[a_n=n^3\,,\qquad b_n=-7\sin(\tfrac{n}{2})\cos(\sqrt{n})\,.\] On voit que \(a_n\to\infty\). On ne sait pas grand chose sur le signe de \(b_n\), mais on sait qu'elle est bornée puisque \[ |b_n|=\bigl|-7\sin(\tfrac{n}{2})\cos(\sqrt{n})\bigr|\leqslant 7\,, \] et donc \[ \lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty}(a_n+b_n)=+\infty\,. \]

Exemple: Considérons \[ x_n=\sqrt{n}(2+\cos(n^5))\,, \] que l'on peut écrire comme \(x_n=a_nb_n\), où \[ a_n=\sqrt{n}\,,\qquad b_n=2+\cos(n^5)\,. \] On a \(a_n\to\infty\), mais \(b_n\) n'a visiblement pas de limite. Pourtant, on peut remarquer que \(\cos(n^5)\geqslant -1\), et donc \[ b_n=2+\cos(n^5)\geqslant 2-1=1=:\delta\gt 0\,. \] On a donc \[ \lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} a_nb_n=+\infty\,. \]

Quiz 3.6-1 : Soit \((a_n)\) une suite qui n'est pas majorée. Parmis les affirmations suivantes, lesquelles sont correctes?
  1. Il existe \(M\) tel que \(a_n\geqslant M\) pour tout \(n\).
  2. Pour tout \(M>0\), il existe \(n\) tel que \(a_n\geqslant M\).
  3. \(a_n\to\infty\) lorsque \(n\to\infty\)
  4. \(a_n>M\) pour tout \(M\).
Quiz 3.6-2 : Si une suite \((a_n)\) ne tend pas vers \(+\infty\), alors
  1. soit elle tend vers \(-\infty\), soit elle tend vers une valeur \(L\in \mathbb{R}\).
  2. \((a_n)\) est majorée.
  3. il existe \(N\) telle que \((a_n)\) est décroissante à partir de \(N\).
  4. pour tout \(M\gt 0\), il existe un entier \(N\) tel que \(a_n\leqslant M\) pour tout \(n\geqslant N\).
  5. il existe un \(M\gt 0\) tel que \(a_n\lt M\) pour une infinité d'indices \(n\).
Quiz 3.6-3 : Soit \(a_n\to+\infty\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
  1. Si \(a_n\leqslant b_n\) pour une infinité d'indices \(n\), alors \(b_n\to\infty\).
  2. Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\), alors \(\frac{1}{b_n}\to 0\).
  3. Si \(b_n\leqslant a_n\), alors \((b_n)\) est majorée.
  4. Si \(b_n\) est minorée, alors \(a_nb_n\to \infty\).
  5. Si il existe \(\delta\geqslant 0\) tel que \(b_n\geqslant \delta\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(a_nb_n\to \infty\).
  6. Si \(r>1\), alors \(\frac{a_n}{r^n}\to 0\).
  7. \(e^{-a_n}\to 0\)
  8. \(\frac{\sin(a_n)}{a_n}\to 1\)

Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:28)

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