3.8 Calculs de limites et indéterminations

La plupart des limites intéressantes que nous rencontrerons dans ce cours sont des limites qui ne se calculent pas simplement à l'aide des propriétés simples de la limite. En fait, les limites importantes nécessiteront toutes une étude plus approfondie. Ces limites feront toutes intervenir ce qu'on appelle une indétermination.

Un limite est indéterminée lorsqu'elle fait intervenir une combinaison de grandeurs qui ne rentre dans le cadre d'aucune règle simple, et dont on ne peut pas immédiatement déterminer le comportement.

Listons quelques-uns des principaux cas d'indétermination:

Il se trouve que toutes ces indéterminations sont équivalentes (voir plus bas).

Nous ne traiterons pas les indéterminations de façon générale puisque justement, leur présence indique qu'une étude au cas par cas est nécessaire. Nous allons donc discuter certaines de ces indéterminations, et présenter les techniques qui permettent de les résoudre, en étudiant des exemples. Plusieurs de ces techniques seront utilisées plus tard, aussi dans l'étude de limites de types différents (comme \(x\to x_0\)).



Indéterminations du type ''\(\infty-\infty\)''

Souvent, une suite est définie par une différence de deux nombres qui deviennent de plus en plus grands à mesure que \(n\) augmente. Or la différence de deux nombres grands peut, a priori, avoir n'importe quel type de comportement.

Exemple: Considérons \[ \lim_{n\to \infty} \bigl(n^3-5n^2\bigr)\,, \] dans laquelle \(a_n=n^3\to +\infty\) et \(b_n=5n^2\to \infty\). Comme \(a_n\) tend vers l'infini plus vite que \(b_n\), dû au fait qu'il contient un terme de degré \(3>2\), on a avantage à mettre \(n^3\) en évidence et obtenir un produit, \[ a_n-b_n=n^3-5n^2=n^3\Bigl(1-\frac{5}{n}\Bigr)=a_n'b_n' \] Maintenant, on a toujours \(a_n'=n^3\to \infty\), mais puisque \(b_n'=1-\frac{5}{n}\to 1\), on a en particulier \(b_n'\geqslant \frac12\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand. On a donc \[\lim_{n\to \infty} a_nb_n=\lim_{n\to \infty} a_n'b_n'=+\infty\,.\]

L'identité élémentaire \[ (a-b)(a+b)= a^2-b^2 \] peut être utilisée souvent lorsqu'on a affaire à une différence \(a-b\). Par exemple, en étudiant des différences de racines \(a-b=\sqrt{A}-\sqrt{B}\), on pourra multiplier et diviser par le conjugué \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\): \[ \sqrt{A}-\sqrt{B} = (\sqrt{A}-\sqrt{B})\frac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} =\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \]

Exemple: Considérons \[ \lim_{n\to \infty} \bigl\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr\}\,, \] qui est bien du type ''\(\infty-\infty\)''. En multipliant et divisant par le conjugué, \[\begin{aligned} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}&= \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr) \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\,. \end{aligned}\] Ce quotient n'est plus indéterminé: \[ \lim_{n\to \infty} \bigl\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr\}= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0\,. \]

Parfois, on pourra (même si c'est assez rare) résoudre une indétermination ''\(\infty-\infty\)'', de la forme \(\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)\), en extrayant explicitement de \(a_n\) et de \(b_n\) la même partie divergente:

Exemple: Considérons le cas ''\(\infty-\infty\)'' suivant: \[ \lim_{n\to\infty}\bigl(\log(e^{\sqrt{n}}+2)-\log(e^{\sqrt{n}}+1)\bigr) \] Ici, on peut remarquer qu'en écrivant \[\begin{aligned} a_n&=\log(e^{\sqrt{n}}+2)=\log(e^{\sqrt{n}}(1+2e^{-{\sqrt{n}}}))={\sqrt{n}}+\log(1+2e^{-{\sqrt{n}}})\,,\\ b_n&=\log(e^{\sqrt{n}}+1)=\log(e^{\sqrt{n}}(1+e^{-{\sqrt{n}}}))={\sqrt{n}}+\log(1+e^{-{\sqrt{n}}})\,, \end{aligned}\] ce qui montre que \(a_n\) et \(b_n\) contiennent tous deux un ''\(\sqrt{n}\)'', qui tend vers l'infini, et qui disparaît lorsqu'on fait la différence: \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)&= \lim_{n\to \infty}\left( \log(1+2e^{-{\sqrt{n}}}) -\log(1+e^{-{\sqrt{n}}}) \right)\\ &=\log(1)-\log(1)\\ &=0\,. \end{aligned}\] C'est donc un cas d'une indétermination ''\(\infty-\infty\)'' dans laquelle on peut montrer que les infinis se ''compensent exactement''.



Indéterminations du type ''\(\frac{\infty}{\infty}\)''

\(\bigstar\) Lorsqu'on est en présence d'un quotient \(\frac{a_n}{b_n}\) dans lequel \(a_n\) et \(b_n\) sont les deux grands, on essaiera d'extraire ce qui est à l'origine de cette grandeur, en mettant un terme dominant en évidence. On pourra alors faire des simplifications dans la fraction \(\frac{a_n}{b_n}\), et éventuellement faire disparaître l'indétermination.

Exemple: Considérons \[\lim_{n\to \infty}\frac{3n^3-17n+1}{5n^3+\sin(n)}\,,\] qui est effectivement une indétermination de la forme ''\(\frac{\infty}{\infty}\)'', puisque

Ce que l'on peut faire ici est extraire les termes dominants dans \(a_n\) et \(b_n\), qui sont les termes contenant la puissance \(n^3\): \[ \frac{a_n}{b_n}= \frac{3n^3-17n+1}{5n^3+\sin(n)} = \frac{n^3(3-\frac{17}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^3(5+\frac{\sin(n)}{n^3})} = \frac{3-\frac{17}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{5+\frac{\sin(n)}{n^3}} =\frac{a_n'}{b_n'} \] En simplifiant par \(n^3\) on a obtenu un quotient \(\frac{a_n'}{b_n'}\), qui dans la limite \(n\to \infty\) n'est plus indéterminé. En effet, \(a_n'\to 3\) et \(b_n'\to 5\), et donc \[ \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to \infty}\frac{a_n'}{b_n'} =\frac{3}{5}\,. \]



Indéterminations du type ''\(\frac00\)''

Nous reviendrons au indéterminations ''\(\frac00\)'', puisqu'elles sont au coeur du problème de la dérivation, un outil central de l'analyse.

Pour l'instant, donnons déjà une limite classique:

Théorème: Soit \((x_n)\) une suite représentant des mesures d'angles en radians. Si \(x_n\neq 0\) pour tout \(n\), et si \(x_n\to 0\), alors \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\sin(x_n)}{x_n}=1\,. \]

\(\bigstar\) Attention, il est important de mentionner que le sinus, dans \(\sin(x_n)\), est calculé en supposant que l'angle \(x_n\) est mesuré en radians. Sinon, la limite n'est pas la même!

Comme la fonction \(x\mapsto \frac{\sin(x)}{x}\) est paire, on peut supposer que \(x_n>0\) pour tout \(n\).

Puisque \(x_n\to 0\), on a \(0\lt x_n\lt \frac{\pi}{2}\) pour tout \(n\) suffisamment grand. Considérons donc un angle sur le cercle trigonométrique, dont la mesure en radians \(x_n\) est entre \(0\) et \(\tfrac{\pi}{2}\):

Remarquons que le triangle \(OAP\) est inclus dans le secteur circulaire \(OBP\), qui est lui-même inclus dans le triangle \(OBM\). On a donc \[ \text{aire}(\triangle\,OAP)\leqslant \text{aire}(\text{secteur }OBP)\leqslant \text{aire}(\triangle\,OBM)\,. \] On explique ici comment calculer l'aire d'un secteur. Ainsi, en exprimant chacune de ces aires en fonction de \(x_n\), \[\tfrac12 \cos (x_n)\sin(x_n)\leqslant \tfrac12 x_n 1^2\leqslant \tfrac12\tan (x_n)\,.\] Ce deux inégalités sont équivalentes à \[\underbrace{\cos (x_n)}_{a_n} \leqslant \frac{\sin (x_n)}{x_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{\cos(x_n)}}_{b_n}\,.\] Puisque \(x_n\to 0\), on a \(a_n=\cos(x_n)\to 1\) et \(b_n\to \frac{1}{1}=1\). On conclut donc avec le théorème des deux gendarmes.



Sur l'équivalence entre les indéterminations

Toutes les indéterminations du tableau présenté plus haut sont équivalentes, dans le sens où on peut toujours transformer une indétermination en une autre. Voyons les principaux cas.

Quiz 3.8-1 : Parmi les formes suivantes, indiquer celles qui sont indéterminées.
  1. () ''\(\infty+\infty\)''
  2. () ''\(\infty-\infty\)''
  3. () ''\(\infty-2\infty\)''
  4. () ''\(\frac{\infty}{0}\)''
  5. () ''\(\frac{0}{0}\)''
  6. () ''\(\frac{1}{0}\)''
  7. () ''\(\frac{0}{\infty}\)''
  8. () ''\(1^\infty\)''
  9. () ''\(1^{-\infty}\)''
  10. () ''\(\infty^\infty\)''
  11. () ''\(0^\infty\)''
  12. () ''\(0^0\)''
  13. () ''\(\infty^0\)''
  14. () ''\(\infty^\infty\)''
  15. () ''\(\infty^{-\infty}\)''
  16. () ''\(\infty\cdot\infty\)''
  17. () ''\(\frac{-\infty}{\infty}\)''
  18. () ''\(\frac{1}{\infty}\)''
  19. () ''\(\frac{0^\infty}{0^\infty}\)''
Quiz 3.8-2 : Vrai ou faux?
  1. () Si \(a_n-b_n\to +\infty\), alors \(\sqrt{a_n-b_n}\to +\infty\).
  2. () Si \(a_n-b_n\to +\infty\), alors \(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\to +\infty\).
  3. () Si \(\frac{a_n}{b_n}\to \infty\) et si \(\frac{c_n}{b_n}\to 1\), alors \(\frac{a_n}{c_n}\to \infty\).




---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:51)) ----