Théorème: Soit \(r\in \mathbb{R}\), et, pour tout \(n\geqslant 1\), définissons la suite \[ s_n:= 1+r+r^2+r^3+\cdots +r^{n-1}+r^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \[ \lim_{n\to \infty} s_n= \begin{cases} +\infty & \text{ si }r\geqslant 1\,,\\ \frac{1}{1-r} & \text{ si }|r|\lt 1\,,\\ \text{n'existe pas} &\text{ si }r\leqslant -1\,. \end{cases} \]
Si \(r=1\), alors
\[
s_n=1+1+1^2+1^3+\cdots+1^n=n+1\,,
\]
ce qui implique \(s_n\to+\infty\).
Si \(r\neq 1\),
on a vu que
\[
s_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,.
\]
On peut alors considérer séparément les cas:
On peut observer le comportement de la suite \((s_n)_{n\geqslant 0}\) en fonction de \(-1\lt r\lt 1\) sur l'animation suivante. (On peut en particulier voir comme la suite n'est plus monotone pour des valeurs négatives de \(r\))
Dans le cas \(|r|\lt 1\), on écrit souvent le résultat sous la forme
\[ \boxed{1+r+r^2+r^3+\dots=\frac{1}{1-r}}
\]
La somme infinie, dans le côté gauche, s'appelle la
série géométrique. (On étudiera les séries dans un chapitre
ultérieur.)
On peut utiliser la série géométrique pour obtenir des formules
utiles des sommes infinies de même nature:
Exemple: Fixons un \(|r|\lt 1\), et considérons la somme \[ r+r^2+r^3+r^4+\cdots\,. \] On peut récrire cette dernière ainsi: \[\begin{aligned} r+r^2+r^3+r^4+\cdots\, &=(1+r+r^2+r^3+r^4+\cdots)-1\\ &=\frac{1}{1-r}-1\\ &=\frac{r}{1-r}\,. \end{aligned}\]
Exemple: Fixons un \(|r|\lt 1\), et considérons la somme \[ 1-r+r^2-r^3+r^4-r^5+\cdots\,. \] Remarquons que cette dernière peut se récrire \[ 1+(-r)+(-r)^2+(-r)^3+(-r)^4+(-r)^5+\cdots\,, \] qui n'est autre que la série géométrique évaluée en \(r'=-r\). Comme \(|r'|=|r|\lt 1\), cette dernière vaut \[ \frac{1}{1-r'}=\frac{1}{1+r}\,. \]
Exemple: Considérons le flocon de von Koch (Suédois, 1870-1924), qui est un objet fractal construit de la façon suivante. À l'étape zéro, on part d'un triangle équilatéral que l'on suppose d'aire égale à \(A_0=1\):
Dans cette section, on étudie la suite \[ e_n:= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \(e_n\) mène à une indétermination de la forme ''\(1^\infty\)'', et il n'est pas clair, a priori, de comment se comporte vraiment \(e_n\).
pow(1+1/n,n)
...
Théorème: ⚡ Soit \((e_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie ci-dessus. Alors
Pour commencer, utilisons la formule du binôme de Newton pour écrire \(e_n\) sous une forme qui permette de mieux étudier sa dépendance en \(n\): \[\begin{aligned} e_n= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n &=1+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}1^{n-k}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n\cdot n\cdots n}\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \bigl(1-\tfrac1n\bigr)\cdots \bigl(1-\tfrac{k-1}{n}\bigr) \end{aligned}\] On utilise deux fois cette expression.
On connaît aujourd'hui des milliards de chiffres de l'expansion décimale de \(e\). Ses premiers termes sont \[ e= 2.7182818284 5904523536 0287471352 662497\dots \] Euler a montré en \(1737\) que \(e\) est un nombre irrationnel.