3.9 Série géométrique et applications

Théorème: Soit \(r\in \mathbb{R}\), et, pour tout \(n\geqslant 1\), définissons la suite \[ s_n:= 1+r+r^2+r^3+\cdots +r^{n-1}+r^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \[ \lim_{n\to \infty} s_n= \begin{cases} +\infty & \text{ si }r\geqslant 1\,,\\ \frac{1}{1-r} & \text{ si }|r|\lt 1\,,\\ \text{n'existe pas} &\text{ si }r\leqslant -1\,. \end{cases} \]

Rappelons que si \(r=1\), alors \(s_n= n+1\), ce qui implique \(s_n\to+\infty\).

Ensuite, si \(r\neq 1\), on a vu que \[ s_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,. \] On peut alors considérer séparément les cas:

  • \(r\gt 1\). Dans ce cas, on écrit plutôt \[ s_n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}\,. \] Comme \(r^{n+1}\to \infty\), on a \(s_n\to +\infty\).
  • \(-1\lt r\lt 1\). Dans ce cas. \(|r^n|=|r|^n\to 0\) car \(|r|\lt 1\), et donc \(s_n\to \frac{1}{1-r}\).
  • \(r= -1\). Dans ce cas, \(s_n=\frac12(1-(-1)^{n+1})\), et donc ne converge pas.
  • \(r\lt -1\). Dans ce cas, \(r^n\) n'a pas de limite lorsque \(n\to\infty\) (oscille).

On peut observer le comportement de la suite \((s_n)_{n\geqslant 0}\) en fonction de \(-1\lt r\lt 1\) sur l'animation suivante. (On peut en particulier voir comme la suite n'est plus monotone pour des valeurs négatives de \(r\))

Dans le cas \(|r|\lt 1\), on écrit souvent le résultat sous la forme \[ \boxed{1+r+r^2+r^3+\dots=\frac{1}{1-r}} \] La somme infinie, dans le côté gauche, s'appelle la série géométrique. (On étudiera les séries dans un chapitre ultérieur.)

Exemple: \[\begin{aligned} 1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\tfrac{1}{16}+\dots&= 1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+(\tfrac12)^3+(\tfrac12)^4+\cdots\\ &=\tfrac{1}{1-\tfrac12}=2\,. \end{aligned}\]

Exemple: Calculons l'aire du Flocon de von Koch (Suédois, 1870-1924). (Pour plus de détails, voir la vidéo ci-dessus.)

On part d'un triangle d'aire \(A_0=1\), puis à chaque étape \(n\geqslant 1\), on rajoute le triangle-tiers sur chaque côté. À l'étape \(n\), l'aire du triangle rajouté vaut \[ a_n=(1/9)^n\,, \] et le nombre de triangles rajoutés vaut \[ \sigma_n=3\cdot 4^{n-1}\,. \] L'aire après la \(n\)ème étape vaut donc \[ A_n=A_{n-1}+\sigma_na_n\,. \] En itérant cette expression, on obtient \[\begin{aligned} A_n&=1+\sigma_1a_1+\sigma_2a_2+\cdots+\sigma_n a_n \\ &=1+\frac{1}{3}+\frac13\frac{4}{9}+\frac13\frac{4^2}{9^2}+ \frac13\frac{4^3}{9^3}+\dots\frac13\frac{4^{n-1}}{9^{n-1}}\\ &=1+\frac13 \Bigl\{ 1+\frac{4}{9}+\frac{4^2}{9^2}+ \frac{4^3}{9^3}+\dots\frac{4^{n-1}}{9^{n-1}} \Bigr\} \end{aligned}\] On reconnaît l'apparition d'une série géométrique de raison \(r=\frac49\lt 1\), et donc \[ \lim_{n\to \infty} A_n=1+\frac13\frac{1}{1-\frac49}=1+\frac13\frac95=\frac85\,. \]



Application: existence du nombre \(e\)

Dans cette section, on étudie la suite \[ e_n:= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \(e_n\) mène à une indétermination de la forme ''\(1^\infty\)'', et il n'est pas clair, a priori, de comment se comporte vraiment \(e_n\).

\(\bigstar\) Donnons deux arguments légitimes, mais faux, concernant le comportement de \(e_n\) dans la limite \(n\to \infty\).

On va pourtant montrer que le vrai comportement de cette suite ne suit aucun de ces scénarios. On peut déjà s'en convaincre en testant soi-même, avec \(x_n=\)pow(1+1/n,n)...

Théorème: ⚡ Soit \((e_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie ci-dessus. Alors

  1. \((e_n)\) est strictement croissante,
  2. \((e_n)\) est bornée: \(2\leqslant e_n\lt 3\) pour tout \(n\geqslant 1\).
Par conséquent, il existe \(e\in [2,3]\) tel que \[\lim_{n\to \infty} e_n=e\,.\]

Pour commencer, utilisons la formule du binôme pour écrire \(e_n\) sous une forme qui permette de mieux étudier sa dépendance en \(n\): \[\begin{aligned} e_n= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n &=1+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}1^{n-k}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n\cdot n\cdots n}\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \bigl(1-\tfrac1n\bigr)\cdots \bigl(1-\tfrac{k-1}{n}\bigr) \end{aligned}\] On utilise deux fois cette expression.

  • Affirmation:\((e_n)\) est croissante. En utilisant l'expression précédente, pour \(n+1\) \[\begin{aligned} e_{n+1} &=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!} \bigl(1-\underbrace{\tfrac1{n+1}}_{\lt \frac1n}\bigr)\cdots \bigl(1-\underbrace{\tfrac{k-1}{n+1}}_{\lt \frac{k-1}{n}}\bigr)\\ &\gt 1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!} \bigl(1-\tfrac1{n}\bigr)\cdots \bigl(1-\tfrac{k-1}{n}\bigr)\\ &= 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \bigl(1-\tfrac1{n}\bigr)\cdots \bigl(1-\tfrac{k-1}{n}\bigr)=e_n\,. \end{aligned}\] Dans l'avant-dernière égalité, on a utilisé le fait que si \(k=n+1\), alors \(1-\frac{k-1}{n}=0\). Comme \(e_n\) est strictement croissante, on a en particulier que \(e_n> e_1=2\).
  • Affirmation:\((e_n)\) est majorée par \(M=3\). En utilisant encore une fois l'expression ci-dessus, \[\begin{aligned} e_n &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \bigl(\underbrace{1-\tfrac1n}_{\lt 1}\bigr)\cdots \bigl(\underbrace{1-\tfrac{k-1}{n}}_{\lt 1}\bigr)\\ &\lt 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\\ &=1+\frac{1}{1!}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!} \end{aligned}\] Remarquons maintenant que pour tout \(k\geqslant 2\), \[ k!= \underbrace{k}_{\geqslant 2}\cdot \underbrace{(k-1)}_{\geqslant 2}\cdots \underbrace{3}_{\geqslant 2}\cdot 2\cdot 1\geqslant 2^{k-1}\,, \] et donc \[ e_n\lt 1+1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}< 1+\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{j}}\lt 1+\frac{1}{1-\frac12}=3\,. \]
On a donc montré que \((e_n)\) est croissante et majorée, donc elle converge. Puisque \(2\leqslant e_n\lt 3\) pour tout \(n\), sa limite appartient aussi à cet intervalle.

On connaît aujourd'hui des milliards de chiffres de l'expansion décimale de \(e\). Ses premiers termes sont \[ e= 2.7182818284 5904523536 0287471352 662497\dots \] Euler a montré en \(1737\) que \(e\) est un nombre irrationnel.

Quiz 3.9-1 : Vrai ou faux?
  1. () \( 1-1+1-1+1-1+\cdots=\frac{1}{2} \)
  2. () \( 1-1+1-1+1-1+\cdots-1+1-1=0 \)
  3. () \(\displaystyle 1+\frac43+\frac{16}{9}+\frac{64}{27}+\cdots+\frac{65'536}{6'561}= \frac{242'461}{6'561}\)
Quiz 3.9-2 : Vrai ou faux?
  1. () Si \(a_n\to 0\), alors \((1+a_n)^n\to 1\)
  2. () Si \(a_n\to 0\), alors \((1+a_n)^n\to e\)
  3. () \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(1+\tfrac1n)^n &= \left(\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac1n)\right) \cdots \left(\lim_{n\to\infty}(1+\tfrac1n)\right)\\ &=1\cdots 1=1\,. \end{aligned}\]








---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:51)) ----