Théorème: Soit \(r\in \mathbb{R}\), et, pour tout \(n\geqslant 1\), définissons la suite \[ s_n:= 1+r+r^2+r^3+\cdots +r^{n-1}+r^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \[ \lim_{n\to \infty} s_n= \begin{cases} +\infty & \text{ si }r\geqslant 1\,,\\ \frac{1}{1-r} & \text{ si }|r|\lt 1\,,\\ \text{n'existe pas} &\text{ si }r\leqslant -1\,. \end{cases} \]
Rappelons que si \(r=1\), alors
\(s_n= n+1\), ce qui implique \(s_n\to+\infty\).
Ensuite, si \(r\neq 1\), on a vu que
\[
s_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\,.
\]
On peut alors considérer séparément les cas:
On peut observer le comportement de la suite \((s_n)_{n\geqslant 0}\) en fonction de \(-1\lt r\lt 1\) sur l'animation suivante. (On peut en particulier voir comme la suite n'est plus monotone pour des valeurs négatives de \(r\))
Dans le cas \(|r|\lt 1\), on écrit souvent le résultat sous la forme \[ \boxed{1+r+r^2+r^3+\dots=\frac{1}{1-r}} \] La somme infinie, dans le côté gauche, s'appelle la série géométrique. (On étudiera les séries dans un chapitre ultérieur.)
Exemple: \[\begin{aligned} 1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\tfrac{1}{16}+\dots&= 1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+(\tfrac12)^3+(\tfrac12)^4+\cdots\\ &=\tfrac{1}{1-\tfrac12}=2\,. \end{aligned}\]
Exemple: Calculons l'aire du Flocon de von Koch (Suédois, 1870-1924). (Pour plus de détails, voir la vidéo ci-dessus.)
Dans cette section, on étudie la suite \[ e_n:= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\,. \] Dans la limite \(n\to \infty\), \(e_n\) mène à une indétermination de la forme ''\(1^\infty\)'', et il n'est pas clair, a priori, de comment se comporte vraiment \(e_n\).
\(\bigstar\) Donnons deux arguments légitimes, mais faux, concernant le comportement de \(e_n\) dans la limite \(n\to \infty\).
pow(1+1/n,n)
...
Théorème: ⚡ Soit \((e_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie ci-dessus. Alors
Pour commencer, utilisons la formule du binôme pour écrire \(e_n\) sous une forme qui permette de mieux étudier sa dépendance en \(n\): \[\begin{aligned} e_n= \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n &=1+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}1^{n-k}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}(\tfrac1n)^k\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n\cdot n\cdots n}\\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \bigl(1-\tfrac1n\bigr)\cdots \bigl(1-\tfrac{k-1}{n}\bigr) \end{aligned}\] On utilise deux fois cette expression.
On connaît aujourd'hui des milliards de chiffres de l'expansion décimale de \(e\). Ses premiers termes sont \[ e= 2.7182818284 5904523536 0287471352 662497\dots \] Euler a montré en \(1737\) que \(e\) est un nombre irrationnel.