Cours 22, Vendredi 29 nov
Communications:
- Attention: séance d'exercice supplémentaire (mais pas de nouvelle série) le
vendredi 20 décembre, 15h-17h, en CO1.
- Future Homework: regarder la vidéo dans
Intégration: fonctions rationnelles
- On a vu que: \(f\in C^{k+1}(I)\Rightarrow\) (\(f\) possède un \(DL(k)\) autour de tout
point \(x_0\in I\)). Mais le contraire n'est pas vrai!
Par exemple, la fonction
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^3&\text{ si }x\in\mathbb{Q}\,,\\
0 & \text{ si }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
possède un \(DL(2)\) autour de \(x_0=0\), donné par
\[
f(x)=0+0x+0x^2+x^2\varepsilon(x)\,,
\]
avec
\[
\varepsilon(x)=
\begin{cases}
x&\text{ si }x\in \mathbb{Q}\,,\\
0 & \text{ si }x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
\]
Mais \(f''\) n'existe nulle part (car \(f\) est discontinue en tout point
\(x\neq 0\)).
Et en fait on peut donner des exemples de fonctions qui possèdent des
développements limités de tous les ordres, mais qui ne sont même pas deux
fois dérivables en \(x_0\).
- Sur les principaux développements obtenus la dernière fois avec la Formule
de Taylor.
- Preuve de la Formule de Taylor (version légèrement moins précise).
Matière:
11. Séries entières et séries de Taylor
Vidéos:
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