10.5 Utilisation de DL pour le calcul de limites

Les développements limités fournissent un moyen très précis d'approximer une fonction au voisinage d'un point, à l'aide d'un polynôme. Et les polynômes étant des objets très simples à manipuler, l'utilisation de développements limités peut grandement simplifier l'étude d'une fonction en ce point.

Par exemple, ils peuvent être utiles pour le calcul de certaines limites.

Dans toutes les indéterminations ''\(\frac00\)'' \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\,,\] rencontrées précédemment, on étudie un quotient de deux fonctions dont les valeurs deviennent toujours plus petites à mesure que \(x\) se rapproche de \(x_0\). Lever l'indétermination c'est, en somme, arriver à expliciter la ''petitesse'' de chacune des deux fonctions, de façon suffisamment précise pour arriver à pouvoir calculer la valeur du quotient lorsque \(x\) est proche de \(x_0\).

Exemple: Considérons l'indétermination ''\(\frac00\)'' dans la limite \[ \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x^2} \] On a déjà calculé cette limite (en multipliant et divisant par le conjugué \(\cos(x)+1\)), mais voyons comment utiliser un \(DL\) pour approcher le problème de façon différente.

Comme on s'intéresse à \(x\) proche de \(0\), on peut utiliser le \(DL(2)\) du cosinus vu plus haut, \[ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon(x)\,, \] où on rappelle que \(\varepsilon(x)\to 0\) quand \(x\to 0\). Ce DL permet de montrer que la ''petitesse'' du numérateur de notre quotient est en fait quadratique en \(x\), puisque \[ \cos(x)-1=-\frac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon(x) =\bigl(-\frac12+\varepsilon(x)\bigr)x^2\,. \] (Une ''petitesse en \(x^2\)'' donc.) Ceci donne \[ \frac{\cos(x)-1}{x^2} = \frac{(-\frac12+\varepsilon(x)){\color{red}x^2}}{{\color{red}x^2}} =-\frac12+\varepsilon(x)\,. \] Cette expression montre, de manière transparente, que ce quotient est proche de \(-\frac12\) quand \(x\) est proche de \(0\). En effet, puisque \(\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0\), la limite est \[ \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} =-\frac12+ \lim_{x\to 0} \varepsilon(x) =-\frac12\,. \]

Attention: lorsqu'on utilise un \(DL(n)\), on utilise le fait que la fonction ''\(\varepsilon(x)\)'' est petite proche du point considéré. Pourtant, on ne sait en général pas estimer précisément la petitesse de \(\varepsilon(x)\)!

Parfois, pour arriver à décrire précisément la petitesse d'un terme, il est nécessaire de choisir un \(DL\) d'un ordre suffisamment grand, comme dans l'exemple suivant :

Exemple: (Sur l'importance du choix de l'ordre du DL.) Étudions \[ \lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)^2-x^2\cos(x)}{x^2(1-\cos x)}\,. \] Numérateur et dénominateur sont petits quand \(x\) est proche de \(0\), et des DL vont permettre de quantifier précisément leurs petitesses respectives. Par contre, on va voir qu'il sera nécessaire de prendre un développement d'ordre suffisamment élevé pour conclure.

  1. Commençons simplement, en prenant le \(DL(1)\) pour le sinus et le \(DL(2)\) pour le cosinus. On nomme les restes différemment pour pouvoir les distinguer: \[ \sin(x)=x+x\varepsilon_s(x)\,\qquad \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon_c(x)\,. \] Alors le numérateur devient \[\begin{aligned} (\sin x)^2-x^2\cos(x)&= \bigl(x+x\varepsilon_s(x)\bigr)^2-x^2\bigl(1-\tfrac{x^2}{2!} +x^2\varepsilon_c(x)\bigr)\\ &=\underbrace{2x^2\varepsilon_s(x)+x^2\varepsilon_s(x)^2+\frac{x^4}{2!} +x^4\varepsilon_c(x)}_{??} \end{aligned}\] Dans cette expression, tout est petit, mais aucun terme ne domine clairement les autres. Il est donc nécessaire d'aller à un ordre plus élevé.
  2. Prenons le \(DL(3)\) pour le sinus, en gardant le \(DL(2)\) pour le cosinus: \[ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+x^3\varepsilon_s(x)\,\qquad \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon_c(x)\,. \] Alors le numérateur peut s'écrire \[\begin{aligned} &(\sin x)^2-x^2\cos x\\ &=\bigl(x-\tfrac{x^3}{3!}+x^3\varepsilon_s(x)\bigr)^2 -x^2\bigl(1-\tfrac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon_c(x)\bigr) \\ &=\frac16 x^4+x^4\underbrace{ \bigl(\tfrac{x^2}{(3!)^2}+x^2\varepsilon_s(x)^2+2\varepsilon_s(x) -\tfrac{x^2}{3!}\varepsilon_s(x)-\varepsilon_c(x)\bigr)}_{\equiv \varepsilon(x)}\\ &=\Bigl(\frac16+\varepsilon(x)\Bigr)x^4\,. \end{aligned}\] Maintenant, on comprend que la petitesse du numérateur est en \(x^4\).

    Ensuite, le dénominateur devient \[\begin{aligned} x^2(1-\cos x)&=x^2\Bigl\{ 1-\Bigl( 1-\frac{x^2}{2!}+x^2\varepsilon_c(x) \Bigr) \Bigr\}\\ &=\frac12 x^4-x^4\varepsilon_c(x)\\ &=\Bigl(\frac12 -\varepsilon_c(x)\Bigr)x^4\,. \end{aligned}\] et représente donc aussi une petitesse en \(x^4\). Donc \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)^2-x^2\cos(x)}{x^2(1-\cos x)} &= \lim_{x\to 0}\frac{(\frac16 +\varepsilon(x)){\color{red}x^4}}{(\frac12 -\varepsilon_c(x)){\color{red}x^4}}\\ &= \lim_{x\to 0}\frac{\frac16 +\varepsilon(x)}{\frac12 -\varepsilon_c(x)}\\ &=\frac13\,. \end{aligned}\]
Remarquons que dans ce calcul, on a vraiment travaillé partout avec des égalités!

Quiz 10.5-1 : Vrai ou faux? (Sans calculs!)
  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-(x-x^3/6)}{x^5}\) existe
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-(1-x^2/2+x^4)}{x^3}=0\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\log(1+x)-(x-x^2/2)}{x^4}=+\infty\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\log(1+x)-(x-x^2/2)}{x^4}=0\)

Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:29)

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