Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

11.2 Séries entières

Indépendamment du problème énoncé ci-dessus, on peut étudier les séries (infinies) de puissances sans qu'elles soient nécessairement liées à une suite de développements limités:

Une série de la forme

\sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k

où

(a_k)_{k\geqslant 0}

est une suite donnée,

x_0\in \mathbb{R}

, est appelée série entière (ou série de puissances, en anglais: power series).

Une série entière est un type particulier de série, où $x$ joue le rôle de paramètre; sa convergence/divergence dépend en général de $x$ . Pour pouvoir utiliser cette série comme une fonction, on s'intéresse donc aux valeurs de $x$ pour lesquelles elle converge: $D:= \Bigl\{ x\in \mathbb{R}\,\big|\,\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \text{ converge} \Bigr\}\,,$

Remarque: $D$ contient toujours au moins le point $x=x_0$ !

On peut alors définir une fonction sur $D$ , à l'aide de la somme de la série: $\begin{aligned} \psi:D&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \psi(x):=\sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k\,. \end{aligned}$

La fonction $\psi$ est, par nature (c'est une fonction définie par une série!), difficile à étudier. Considérons d'abord un cas simple bien connu:

Exemple: Considérons la série entière associée à la suite constante $a_k=1$ , au point $x_0=0$ : $\psi(x)=\sum_{k\geqslant 0}x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots$ On reconnaît la série géométrique, qui comme on sait converge si et seulement si $x\in D=]-1,1[$ .

Ce qu'on peut dire, en plus, c'est que si $x\in ]-1,1[$ , alors non seulement la série définit bien une fonction, mais on sait en plus que $\psi(x)=\frac{1}{1-x}\quad (!!!)$ Donc on peut formuler ce résultat comme suit: lorsque $x\in ]-1,1[$ , la série entière convergente $\sum_{k\geqslant 0}x^k$ est en fait juste une représentation de la fonction $\frac{1}{1-x}$ .

Rayon et intervalle de convergence

L'ensemble des $x$ pour lesquels une série entière converge a une structure assez simple:

Théorème: Il existe un $0\leqslant R\leqslant +\infty$ tel que $\sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k \,\, \begin{cases} \text{converge si }|x-x_0|\lt R\,,\\ \text{diverge si }|x-x_0|\gt R\,. \end{cases}$ On appelle $R$ le rayon de convergence de la série.

De plus, dans le cas où on peut donner un sens à la limite $\sigma:=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,,$ alors $R=\begin{cases} +\infty&\text{ si }\sigma=0\,,\\ \frac{1}{\sigma}&\text{ si }0<\sigma<\infty\,,\\ 0&\text{ si }\sigma=\infty\,. \end{cases}$

Preuve:

Écrivons notre série entière sous la forme $\sum_{k\geqslant 0}b_k(x)$ , où $b_k(x):= a_k(x-x_0)^k\,.$ Commençons par supposer que la limite suivante existe: $\sigma(x):= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n(x)|}\,,$ on sait, par le critère de Cauchy, que $\sum_{k\geqslant 0}b_k(x)\,\, \begin{cases} \text{converge si }&\sigma(x)\lt 1\,,\\ \text{diverge si }&\sigma(x)\gt 1\,. \end{cases}$ Or si on regarde de plus près, $\sigma(x)=|x-x_0|\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|x-x_0|\sigma\,,$ ce qui implique que $\sum_{k\geqslant 0}b_k(x)\,\, \begin{cases} \text{converge si }&|x-x_0|\lt \frac{1}{\sigma}\,,\\ \text{diverge si }&|x-x_0|\gt \frac{1}{\sigma}\,. \end{cases}$ Donc en définissant $R$ par $R:= \frac{1}{\sigma}$ , on obtient bien le résultat.

Remarque:

On peut vérifier que la limite $\sigma$ peut s'exprimer sous une autre forme, utile dans certaines situations: $\sigma=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\,,$
La conclusion du théorème ci-dessus reste vraie si $\sigma$ est défini par $\sigma:= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,.$

Le théorème ci-dessus garantit que l'ensemble $D$ des $x\in \mathbb{R}$ pour lesquels une série entière converge est nécessairement un intervalle, appelé intervalle de convergence:

Si $R=0$ , la série converge uniquement lorsque $x=x_0$ , et donc $D=\{x_0\}$ (un intervalle ne contenant que le point $x_0$ ).
Si $0\lt R\lt \infty$ , alors $D$ est un intervalle, d'un des 4 types suivants: $\begin{aligned} &]x_0-R,x_0+R[\,,\\ &[x_0-R,x_0+R[\,,\\ &]x_0-R,x_0+R]\,,\\ &[x_0-R,x_0+R]\,. \end{aligned}$
Si $R=\infty$ , elle converge pour tout $x\in \mathbb{R}$ et donc $D=\mathbb{R}$ .

Dans le cas où

0\lt R\lt \infty

, on déterminera le type d'intervalle en étudiant la convergence de la série entière

\sum_ka_k(x-x_0)^k

au bord de l'intervalle, c'est-à-dire en

x=x_0\pm R

Une fois que $D$ est connu, la série entière permet donc de définir la fonction $\begin{aligned} \psi: D&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \psi(x):= \sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k\,. \end{aligned}$

Considérons pour commencer des exemples de séries entières centrées en $x_0=0$ : $\sum_{k\geqslant 0} a_kx^k$ Par le théorème ci-dessus, on sait que l'intervalle de convergence est forcément de la forme

$D=\{0\}$ (lorsque $R=0$ ),
$D=\mathbb{R}$ (lorsque $R=\infty$ ).
$D=]-R,R[$ , $[-R,R[$ , $]-R,R]$ ou $[-R,R]$ (lorsque $0\lt R\lt \infty$ ), et on déterminera précisément le cas en étudiant la série en $x=\pm R$ .

Exemple: Considérons $\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2^k}x^k\,.$ Dans ce cas, $\sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\tfrac{(-1)^n}{2^n}|}=\frac12\,,$ et donc $R=\frac1{\sigma}=2$ : la série converge pour tout $-2\lt x\lt 2$ , et diverge si $x\gt 2$ ou $x\lt -2$ . Regardons maintenant ce qui se passe en $x=\pm 2$ .

En $x=+2$ la série est $1-1+1-1+1-\cdots\,,$ et donc elle diverge.
En $x=-2$ la série est $1+1+1+1+\cdots\,,$ donc elle diverge aussi.

On conclut donc que l'intervalle de convergence est

D=]-2,2[

Exemple: Considérons $\sum_{k=0}^\infty k^2x^k$ Ici, $\sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2} =\lim_{n\to\infty}e^{2\frac{\log(n)}{n}} =e^0 =1\,,$ donc $R=1$ . Comme la série diverge lorsque $x=\pm 1$ , on a que $D=]-1,1[$ .

Exemple: Considérons $\sum_{k=0}^\infty k^kx^k$ Ici, $\sigma=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n\to\infty}n=\infty\,,$ donc $R=0$ . Donc la série converge si et seulement si $x=0$ : $D=\{0\}$

Exemple: Considérons $\sum_{k=1}^\infty\frac1k x^k$ Utilisons la version ''d'Alembert'': $\sigma =\lim_{n\to\infty}\Bigl| \frac{1/(n+1)}{1/n} \Bigr| =1\,,$ donc $R=1$ . Regardons $x=\pm 1$ :

En $x=+1$ , la série est $1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots\,,$ qui est la série harmonique, qui diverge.
En $x=-1$ , la série est $-1+\frac12-\frac13+\frac14-\cdots\,,$ qui est (à un signe près) la série harmonique alternée, qui converge.

On conclut que l'intervalle de convergence est

D=[-1,1[

Exemple: Considérons $\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}x^k$ On trouve $\sigma=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{n!}{(n+1)!}\Bigr|=0\,,$ et donc $R=\infty$ : la série converge pour tout $x\in \mathbb{R}$ , donc son intervalle de convergence est $D=\mathbb{R}$ . (Cette série peut en fait être utilisée pour définir la fonction exponentielle.)

Quiz 11.2-1 : Vrai ou faux?

Si une série entière converge en $x_1$ et $x_2$ , alors elle converge en tout point intermédiaire $x'$ , $x_1\lt x'\lt x_2$ .
Il existe une série entière qui converge en $x=-1$ , diverge en $x=0$ , et converge en $x=+1$ .
Si une série entière $\sum_ka_k(x-x_0)^k$ converge pour tout $x\in \mathbb{R}$ , alors $a_k=0$ pour tout $k$ suffisamment grand.

Quiz 11.2-2 : Soit

f

la fonction définie par la série entière

f(x)=\sum_{n\geqslant 0}a_n(x-x_0)^n\,,

et soit

D

son intervalle de convergence. Vrai ou faux?

$D\ni x_0$ .
Si $a_n\to 0$ , alors $D=\mathbb{R}$ .
Si $a_n\to \infty$ , alors $D=\{x_0\}$ .
Si $a_n\to -\infty$ , alors $D\subset \mathbb{R}_-$ .
Si $D\neq \mathbb{R}$ , alors $D$ est soit de la forme $]x_0-R,x_0+R[$ , soit de la forme $[x_0-R,x_0+R]$ .
Si $x\in \mathbb{R}$ est tel que $\lim_{n\to \infty}a_n(x-x_0)^n=0$ , alors $x\in D$ .
Si $a_n=0$ pour une infinité d'indices $n$ , alors $D=\mathbb{R}$ .
Si $a_n=0$ pour tout $n$ suffisamment grand, alors $D=\mathbb{R}$ .
Si $\lim_{n\to\infty}|a_n|>0$ , alors $D=\{x_0\}$ .
Si $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0$ , alors $D=\mathbb{R}$ .
Si $\sqrt[n]{|a_n|}$ n'est pas bornée, alors $D=\{x_0\}$ .