11.2 Séries entières

Indépendamment du problème énoncé ci-dessus, on peut étudier les séries (infinies) de puissances sans qu'elles soient nécessairement liées à une suite de développements limités:

Une série de la forme \[ \sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k \] où \((a_k)_{k\geqslant 0}\) est une suite donnée, \(x_0\in \mathbb{R}\), est appelée série entière (ou série de puissances, en anglais: power series).

Une série entière est un type particulier de série, où \(x\) joue le rôle de paramètre; sa convergence/divergence dépend en général de \(x\). Pour pouvoir utiliser cette série comme une fonction, on s'intéresse donc aux valeurs de \(x\) pour lesquelles elle converge: \[ D:= \Bigl\{ x\in \mathbb{R}\,\big|\,\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \text{ converge} \Bigr\}\,, \]

Remarque: \(D\) contient toujours au moins le point \(x=x_0\)!

On peut alors définir une fonction sur \(D\), à l'aide de la somme de la série: \[\begin{aligned} \psi:D&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \psi(x):=\sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k\,. \end{aligned}\]

La fonction \(\psi\) est, par nature (c'est une fonction définie par une série!), difficile à étudier. Considérons d'abord un cas simple bien connu:

Exemple: Considérons la série entière associée à la suite constante \(a_k=1\), au point \(x_0=0\): \[ \psi(x)=\sum_{k\geqslant 0}x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots \] On reconnaît la série géométrique, qui comme on sait converge si et seulement si \(x\in D=]-1,1[\).

Ce qu'on peut dire, en plus, c'est que si \(x\in ]-1,1[\), alors non seulement la série définit bien une fonction, mais on sait en plus que \[ \psi(x)=\frac{1}{1-x}\quad (!!!) \] Donc on peut formuler ce résultat comme suit: lorsque \(x\in ]-1,1[\), la série entière convergente \(\sum_{k\geqslant 0}x^k\) est en fait juste une représentation de la fonction \(\frac{1}{1-x}\).

Rayon et intervalle de convergence

L'ensemble des \(x\) pour lesquels une série entière converge a une structure assez simple:

Théorème: Il existe un réel \(0\leqslant R\leqslant +\infty\) tel que \[ \sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k \,\, \begin{cases} \text{converge si }|x-x_0|\lt R\,,\\ \text{diverge si }|x-x_0|\gt R\,. \end{cases} \] On appelle \(R\) le rayon de convergence de la série.

De plus, dans le cas où on peut donner un sens à la limite \[ \sigma:=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,, \] alors \[ R=\begin{cases} +\infty&\text{ si }\sigma=0\,,\\ \frac{1}{\sigma}&\text{ si }0<\sigma<\infty\,,\\ 0&\text{ si }\sigma=\infty\,. \end{cases} \]

Écrivons notre série entière sous la forme \(\sum_{k\geqslant 0}b_k(x)\), où \[ b_k(x):= a_k(x-x_0)^k\,. \] Commençons par supposer que la limite suivante existe: \[ \sigma(x):= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n(x)|}\,, \] on sait, par le critère de Cauchy, que \[ \sum_{k\geqslant 0}b_k(x)\,\, \begin{cases} \text{converge si }&\sigma(x)\lt 1\,,\\ \text{diverge si }&\sigma(x)\gt 1\,. \end{cases} \] Or si on regarde de plus près, \[ \sigma(x)=|x-x_0|\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|x-x_0|\sigma\,, \] ce qui implique que \[ \sum_{k\geqslant 0}b_k(x)\,\, \begin{cases} \text{converge si }&|x-x_0|\lt \frac{1}{\sigma}\,,\\ \text{diverge si }&|x-x_0|\gt \frac{1}{\sigma}\,. \end{cases} \] Donc en définissant \(R\) par \(R:= \frac{1}{\sigma}\), on obtient bien le résultat.

Remarque:

Le théorème ci-dessus garantit que l'ensemble \(D\) des \(x\in \mathbb{R}\) pour lesquels une série entière converge est nécessairement un intervalle, appelé intervalle de convergence:

Dans le cas où \(0\lt R\lt \infty\), on déterminera le type d'intervalle en étudiant la convergence de la série entière \(\sum_ka_k(x-x_0)^k\) au bord de l'intervalle, c'est-à-dire en \(x=x_0\pm R\).

Une fois que \(D\) est connu, la série entière permet donc de définir la fonction \[\begin{aligned} \psi: D&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto \psi(x):= \sum_{k\geqslant 0}a_k(x-x_0)^k\,. \end{aligned}\]

Considérons pour commencer des exemples de séries entières centrées en \(x_0=0\): \[ \sum_{k\geqslant 0} a_kx^k \] Par le théorème ci-dessus, on sait que l'intervalle de convergence est forcément de la forme

  1. \(D=\{0\}\) (lorsque \(R=0\)),
  2. \(D=\mathbb{R}\) (lorsque \(R=\infty\)).
  3. \(D=]-R,R[\), \([-R,R[\), \(]-R,R]\) ou \([-R,R]\) (lorsque \(0\lt R\lt \infty\)), et on déterminera précisément le cas en étudiant la série en \(x=\pm R\).

Exemple: Considérons \[ \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2^k}x^k\,. \] Dans ce cas, \[ \sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\tfrac{(-1)^n}{2^n}|}=\frac12\,, \] et donc \(R=\frac1{\sigma}=2\): la série converge pour tout \(-2\lt x\lt 2\), et diverge si \(x\gt 2\) ou \(x\lt -2\). Regardons maintenant ce qui se passe en \(x=\pm 2\).

On conclut donc que l'intervalle de convergence est \(D=]-2,2[\).

Exemple: Considérons \[\sum_{k=0}^\infty k^2x^k\] Ici, \[ \sigma =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2} =\lim_{n\to\infty}e^{2\frac{\log(n)}{n}} =e^0 =1\,, \] donc \(R=1\). Comme la série diverge lorsque \(x=\pm 1\), on a que \(D=]-1,1[\).

Exemple: Considérons \[\sum_{k=0}^\infty k^kx^k\] Ici, \[ \sigma=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n\to\infty}n=\infty\,, \] donc \(R=0\). Donc la série converge si et seulement si \(x=0\): \(D=\{0\}\)

Exemple: Considérons \[\sum_{k=1}^\infty\frac1k x^k\] Utilisons la version ''d'Alembert'': \[ \sigma =\lim_{n\to\infty}\Bigl| \frac{1/(n+1)}{1/n} \Bigr| =1\,, \] donc \(R=1\). Regardons \(x=\pm 1\):

On conclut que l'intervalle de convergence est \(D=[-1,1[\).

Exemple: Considérons \[\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}x^k\] On trouve \[ \sigma=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{n!}{(n+1)!}\Bigr|=0\,, \] et donc \(R=\infty\): la série converge pour tout \(x\in \mathbb{R}\), donc son intervalle de convergence est \(D=\mathbb{R}\). (Cette série peut en fait être utilisée pour définir la fonction exponentielle.)

Quiz 11.2-1 : Vrai ou faux?
  1. Si une série entière converge en \(x_1\) et \(x_2\), alors elle converge en tout point intermédiaire \(x'\), \(x_1\lt x'\lt x_2\).
  2. Il existe une série entière qui converge en \(x=-1\), diverge en \(x=0\), et converge en \(x=+1\).
  3. Si une série entière \(\sum_ka_k(x-x_0)^k\) converge pour tout \(x\in \mathbb{R}\), alors \(a_k=0\) pour tout \(k\) suffisamment grand.
Quiz 11.2-2 : Soit \(f\) la fonction définie par la série entière \[ f(x)=\sum_{n\geqslant 0}a_n(x-x_0)^n\,, \] et soit \(D\) son intervalle de convergence. Vrai ou faux?
  1. \(D\ni x_0\).
  2. Si \(a_n\to 0\), alors \(D=\mathbb{R}\).
  3. Si \(a_n\to \infty\), alors \(D=\{x_0\}\).
  4. Si \(a_n\to -\infty\), alors \(D\subset \mathbb{R}_-\).
  5. Si \(D\neq \mathbb{R}\), alors \(D\) est soit de la forme \(]x_0-R,x_0+R[\), soit de la forme \([x_0-R,x_0+R]\).
  6. Si \(x\in \mathbb{R}\) est tel que \(\lim_{n\to \infty}a_n(x-x_0)^n=0\), alors \(x\in D\).
  7. Si \(a_n=0\) pour une infinité d'indices \(n\), alors \(D=\mathbb{R}\).
  8. Si \(a_n=0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(D=\mathbb{R}\).
  9. Si \(\lim_{n\to\infty}|a_n|>0\), alors \(D=\{x_0\}\).
  10. Si \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=0\), alors \(D=\mathbb{R}\).
  11. Si \(\sqrt[n]{|a_n|}\) n'est pas bornée, alors \(D=\{x_0\}\).

Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:29)

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