Supposons qu'une fonction \(f\) possède des développements limités en \(x_0\), de tous les ordres: \[\begin{aligned} f(x)&=a_0 +a_1(x-x_0) +R_1(x)\\ f(x)&=a_0 +a_1(x-x_0) +a_2(x-x_0)^2 +R_2(x)\\ f(x)&=a_0 +a_1(x-x_0) +a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+ R_3(x)\\ \vdots&\\ f(x)&=a_0 +a_1(x-x_0) +a_2(x-x_0)^2 \cdots +a_n(x-x_0)^n +R_n(x)\\ \vdots & \end{aligned}\] Que se passe-t-il si on prend \(n\to \infty\)?

Remarquons qu'au-dessus, on a fait attention de nommer le reste différemment en fonction de l'ordre du \(DL\).

Puisqu'un développement limité d'ordre de plus en plus grand implique une approximation de \(f(x)\) toujours meilleure, on s'attend à ce que la limite ''\(n\to \infty\)'' mène à une reconstruction exacte de \(f(x)\), dans laquelle il n'y a plus d'approximation.

Décrivons plus précisément ce processus de limite. Fixons un point \(x\) dans le voisinage de \(x_0\).

1. D'abord, à mesure que \(n\) devient plus grand, le polynôme de la partie principale contient toujours plus de termes. Dans la limite \(n\to \infty\) il devient une série de puissances (un ''polynôme de degré infini''): \[ a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots=\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k\,, \] et pour que cette série fasse du sens, il faut pouvoir montrer qu'elle converge pour le \(x\) qu'on a fixé.
2. Ensuite, afin de garantir que cette série décrit exactement la fonction, il faut s'assurer que la suite de restes, au point \(x\) qu'on a fixé, tend vers zéro: \[R_n(x)\to 0\,\qquad \text{ lorsque }n\to \infty\] (Attention: ici \(x\) est fixé, c'est \(n\) qui tend vers l'infini!)

Si on peut vérifier ces deux conditions, cela signifie que la valeur de \(f\) en \(x\) peut se calculer à l'aide de la série: \[ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k\,. \] On verra plus tard que ce programme est possible, sous certaines hypothèses.

Mais avant cela, nous allons introduire et étudier plus systématiquement les séries de puissance du type ci-dessus.