Exercice 01-01
Sans faire de calculs, donner l'ensemble image des fonctions \(f:D\to \mathbb{R}\) ci-dessous.
  1. \(-2x+1\), \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(-2x+1\), \(D=[-1,1]\)
  3. \(x^p\) (\(p\in\mathbb{Z}^*\) impair), \(D=\mathbb{R}\)
  4. \(x^p\) (\(p\in\mathbb{Z}^*\) pair), \(D=\mathbb{R}\)
  5. \(x^2+1\), \(D=\mathbb{R}\)
  6. \(1-x^2\), \(D=\mathbb{R}\)
  7. \(x^2+2x\), \(D=\mathbb{R}\)
  8. \(\tan x\), \(D=]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[\)
  9. \(\sin x\), \(D=[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\)
  10. \(\cos x\), \(D=]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[\)
  11. \(\tfrac13\sin x\), \(D=\mathbb{R}\)
  12. \(\begin{cases} x+1&\text{ si }x\geqslant0\\ \tfrac12(x-1)&\text{ si } x<0 \end{cases}\) \(D=\mathbb{R}\)
On pourra dans la plupart des cas esquisser le graphe de la fonction (toutes sont élémentaires!), sans calculs, pour déterminer l'ensemble image de manière graphique.

Pour un rappel de la définition abstraite de l'ensemble image d'une fonction \(f:A\to B\), voir ici. Pour son interprétation graphique dans le cas des fonctions réelles, voir ici.

... c'est l'ensemble des valeurs \(y\in \mathbb{R}\) (que l'on lit sur l'axe \(Oy\)) pour lesquelles la droite horizontale à hauteur \(y\) coupe le graphe de la fonction en au moins un point.

Les graphes ci-dessous sont assez approximatifs, mais suffisants pour trouver l'ensemble image à chaque fois.
  1. Le graphe de \(f(x)=-2x+1\) est une droite de pente de \(-2\) dont l'ordonnée à l'origine est égale à \(+1\):
    Ainsi, quel que soit \(y\in \mathbb{R}\), la droite horizontale à hauteur \(y\) coupe le graphe de \(f\) en (exactement) un point. Donc \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}\).
  2. Puisque \(x\) est restreint à prendre des valeurs uniquement dans \([-1,1]\), l'ensemble image est \(\mathrm{Im} (f)=[-1,3]\):
  3. Considérons \(p\in \mathbb{Z}^*\) impair. Si \(p\gt 0\), alors \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}\):
    Si \(p\lt 0\), alors \(D=\mathbb{R}^*\) et \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}\):
    En effet, toute droite horizontale à hauteur \(y\neq 0\) coupe le graphe de \(f\), mais si \(y=0\), il n'y a pas d'intersection, puisqu'il n'existe aucun \(x\) tel que \(f(x)=0\).
  4. Considérons \(p\in \mathbb{Z}^*\) pair. Si \(p\gt 0\) alors \(D=\mathbb{R}\) et \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}_+=[0,\infty[\):
    Si \(p\lt 0\) alors \(D=\mathbb{R}^*\) et \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}_+^*=]0,\infty[\):

    Remarque: On peut obtenir des graphes plus précis des fonctions du type \(f(x)=x^p\) (\(p\) entier) en utilisant l'animation disponible ici.

  5. Le graphe de \(f(x)=x^2+1\) est celui de \(x^2\), translaté de \(+1\) vers le haut, donc \(\mathrm{Im} (f)=[1,\infty[\):
  6. Le graphe de \(f(x)=1-x^2\) est celui de \(x^2\), réfléchi à travers \(Ox\), puis translaté de \(+1\) vers le haut, donc \(\mathrm{Im} (f)=]-\infty,1]\):
  7. Remarquons qu'en complétant le carré, \[ f(x)=x^2+2x=(x+1)^2-1\,, \] et donc le graphe de \(f\) est celui de \(x^2\), translaté de \(1\) unité vers la gauche, puis de \(1\) unité vers le bas:
    Ceci donne \(\mathrm{Im} (f)=[-1,\infty[\).
  8. Par définition de la tangente (on pourra regarder ici pour quelques rappels de trigo, en particulier pour la fonction tangente et son graphe pour \(x\in]-\pi/2,\pi/2[\)), on voit que \(\mathrm{Im} (f)=\mathbb{R}\):
  9. \(\mathrm{Im} (f)=[-1,1]\):
  10. \(\mathrm{Im} (f)=]0,1]\):
  11. On sait que l'image de \(\sin(x)\), lorsque \(x\in \mathbb{R}\), est l'intervalle \([-1,1]\). Donc la fonction \(f(x)=\frac{1}{3}\sin(x)\) a une image donnée par \(\mathrm{Im} (f)=[-\tfrac13,\tfrac13]\). (Graphiquement, le graphe de \(\frac13\sin(x)\) s'obtient à partir de celui de \(\sin(x)\) par un ''écrasement vertical'' de rapport \(\frac13\); l'ensemble image subit donc le même sort.)
  12. \(\mathrm{Im} (f)=]-\infty,-\tfrac12[\cup [1,\infty[\)