Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

6.3 Parité

Une autre propriété qu'une fonction peut posséder est par rapport à son comportement vis-à-vis de la transformation \(x\mapsto -x\).

Ci-dessous, on considère des fonctions dont le domaine \(D\subset \mathbb{R}\) est symétrique c'est-à-dire que si \(x\in D\), alors \(-x\in D\).

\(f:D\to\mathbb{R}\) est dite paire si \[ f(-x)=f(x)\qquad\forall x\in D\,. \]

Si le point \((x,y)=(x,f(x))\) appartient au graphe de \(f\), alors le point \[ (-x,f(-x))=(-x,f(x))=(-x,y) \] appartient aussi au graphe de \(f\). On conclut que le graphe d'une fonction paire est invariant sous l'effet d'une réflexion par rapport à l'axe \(Oy\).

\(f:D\to\mathbb{R}\) est dite impaire si \[ f(-x)=-f(x)\qquad\forall x\in D\,. \]

Si le point \((x,y)=(x,f(y))\) appartient au graphe, alors le point \[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x))=(-x,-y) \] appartient aussi graphe de \(f\). Donc le graphe d'une fonction impaire est invariant sous une rotation de \(180^o\) autour de l'origine:

Exemple: Décrivons l'exemple qui est à l'origine de la dénomination de fonction ''paire'' ou ''impaire''. Pour un entier \(p\in \mathbb{Z}\), la fonction \[f(x)=x^p\] est

paire si \(p\) est pair,
impaire si \(p\) est impair.

Remarquons que si \(p\) est négatif, alors \(0\) ne fait pas partie du domaine de \(f\).

Exemple: Sur \(D=\mathbb{R}\), \(x\mapsto\cos(x)\) est paire,

et \(x\mapsto\sin(x)\) est impaire,

Sur \(D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\,:\,k\in\mathbb{Z}\}\), \(x\mapsto \tan(x)\) est impaire:

En effet, \[ \tan(-x) =\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\frac{-\sin(x)}{\cos(x)} =-\tan(x)\,. \]

Exemple: Montrons que la fonction \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)=\frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}\, \] est paire. En effet, pour tout \(x\in \mathbb{R}^*\), \[ f(-x)=\frac{\sin(2(-x))}{e^{-x}-e^{-(-x)}}= \frac{-\sin(2x)}{-(e^x-e^{-x})}= \frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}=f(x)\,. \]

Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (resp. pas impaire), il suffit de trouver un point \(x_*\) de son domaine où \(f(-x_*)\neq f(x_*)\) (resp. \(f(-x_*)\neq -f(x_*)\)).

Exemple: Considérons, sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(f(x)=x+1\). On remarque que \(f(-1)=0\) et \(f(1)=2\), et donc \(f(-1)\neq f(1)\), et donc \(f\) n'est pas paire. Et comme \(f(-1)\neq -f(1)\), \(f\) n'est pas impaire non plus.

Une fonction, en général, n'a pas de raison d'être paire ou impaire; pourtant toute fonction contient contient un peu d'une fonction paire, et un peu d'une fonction impaire:

Lemme: Si \(D\) est symétrique, toute fonction \(f:D\to \mathbb{R}\) peut s'écrire, de manière unique, comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Preuve:

Cherchons à écrire \(f(x)=p(x)+i(x)\), où \(p(x)\) est paire et \(i(x)\) est impaire. On doit donc avoir \[f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)\,,\] et donc \(i(x)\) et \(p(x)\) doivent satisfaire \[\begin{aligned} f(x)&=p(x)+i(x)\\ f(-x)&=p(x)-i(x)\,. \end{aligned}\] Ce petit système linéaire se résout facilement. Sa solution est unique, et donnée par \[ p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,,\qquad i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\,.\]

Exemple: Sur \(\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\) n'est ni paire ni impaire, mais on peut quand-même l'écrire \(e^x=p(x)+i(x)\), où \[ p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x) \] est paire, et \[ i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x) \] est impaire. (Pour les fonctions hyperboliques, voir ici.)

Quiz 6.3-1 : Soit \(f\) une fonction dont le domaine \(D\) est symétrique et contient l'origine. Vrai ou faux?

Il existe \(a>0\) tel que \(D=[-a,a]\) ou \(D=]-a,a[\).
\(f\) est soit paire, soit impaire.
Si \(f\) n'est pas paire, alors \(f(-x)\neq f(x)\) pour tout \(x\in D\).
Si \(f\) n'est pas impaire, alors \(f(-x)\neq -f(x)\) pour tout \(x\in D\).
Si \(f\) est impaire, alors \(f(0)=0\).
Si \(f\) est impaire, alors \(f(x)\gt 0\) pour tout \(x\gt 0\) et \(f(x)\lt 0\) pour tout \(x\lt 0\).
Si \(f\) est paire, alors \(f^2\) est aussi paire.
Si \(f\) est impaire, alors \(f^2\) est aussi impaire.
\(f\) est en même temps paire et impaire si et seulement si \(f\) est identiquement nulle sur \(D\).