Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

6.3 Parité

Une autre propriété qu'une fonction peut posséder est par rapport à son comportement vis-à-vis de la transformation $x\mapsto -x$ .

Ci-dessous, on considère des fonctions dont le domaine $D\subset \mathbb{R}$ est symétrique c'est-à-dire que si $x\in D$ , alors $-x\in D$ .

f:D\to\mathbb{R}

est dite paire si

f(-x)=f(x)\qquad\forall x\in D\,.

Si le point $(x,y)=(x,f(x))$ appartient au graphe de $f$ , alors le point $(-x,f(-x))=(-x,f(x))=(-x,y)$ appartient aussi au graphe de $f$ . On conclut que le graphe d'une fonction paire est invariant sous l'effet d'une réflexion par rapport à l'axe $Oy$ .

0,0

x

f(x)

-x

f(-x)

f:D\to\mathbb{R}

est dite impaire si

f(-x)=-f(x)\qquad\forall x\in D\,.

Si le point $(x,y)=(x,f(x))$ appartient au graphe, alors le point $(-x,f(-x))=(-x,-f(x))=(-x,-y)$ appartient aussi graphe de $f$ . Donc le graphe d'une fonction impaire est invariant sous une rotation de $180^o$ autour de l'origine:

0,0

x

f(x)

-x

f(-x)

Exemple: Décrivons l'exemple qui est à l'origine de la dénomination de fonction ''paire'' ou ''impaire''. Pour un entier $p\in \mathbb{Z}$ , la fonction $f(x)=x^p$ est

paire si $p$ est pair,
impaire si $p$ est impair.

Remarquons que si

p

est négatif, alors

0

ne fait pas partie du domaine de

f

0,0

f(x)=x^{2}

x

f(x)

-x

f(-x)

Exemple: Sur $D=\mathbb{R}$ , $x\mapsto\cos(x)$ est paire,

0,0

x

-x

x\mapsto\sin(x)

est impaire,

0,0

x

-x

Sur

D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\,:\,k\in\mathbb{Z}\}

x\mapsto \tan(x)

est impaire:

0,0

x

-x

En effet,

\tan(-x) =\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\frac{-\sin(x)}{\cos(x)} =-\tan(x)\,.

Exemple: Montrons que la fonction $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}\,$ est paire. En effet, pour tout $x\in \mathbb{R}^*$ , $f(-x)=\frac{\sin(2(-x))}{e^{-x}-e^{-(-x)}}= \frac{-\sin(2x)}{-(e^x-e^{-x})}= \frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}=f(x)\,.$

Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (resp. pas impaire), il suffit de trouver un point $x_*$ de son domaine où $f(-x_*)\neq f(x_*)$ (resp. $f(-x_*)\neq -f(x_*)$ ).

Exemple: Considérons, sur $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x)=x+1$ . On remarque que $f(-1)=0$ et $f(1)=2$ , et donc $f(-1)\neq f(1)$ , et donc $f$ n'est pas paire. Et comme $f(-1)\neq -f(1)$ , $f$ n'est pas impaire non plus.

Une fonction, en général, n'a pas de raison d'être paire ou impaire; pourtant toute fonction contient un peu d'une fonction paire, et un peu d'une fonction impaire:

Lemme: Si $D$ est symétrique, toute fonction $f:D\to \mathbb{R}$ peut s'écrire, de manière unique, comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Preuve:

Cherchons à écrire $f(x)=p(x)+i(x)$ , où $p(x)$ est paire et $i(x)$ est impaire. On doit donc avoir $f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)\,,$ et donc $i(x)$ et $p(x)$ doivent satisfaire $\begin{aligned} f(x)&=p(x)+i(x)\\ f(-x)&=p(x)-i(x)\,. \end{aligned}$ Ce petit système linéaire se résout facilement. Sa solution est unique, et donnée par $p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,,\qquad i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\,.$

Exemple: Sur $\mathbb{R}$ , $f(x)=e^x$ n'est ni paire ni impaire, mais on peut quand-même l'écrire $e^x=p(x)+i(x)$ , où $p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$ est paire, et $i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$ est impaire. (Pour les fonctions hyperboliques, voir ici.)

Quiz 6.3-1 : Soit

f

une fonction dont le domaine

D

est symétrique et contient l'origine. Vrai ou faux?

Il existe $a>0$ tel que $D=[-a,a]$ ou $D=]-a,a[$ .
$f$ est soit paire, soit impaire.
Si $f$ n'est pas paire, alors $f(-x)\neq f(x)$ pour tout $x\in D$ .
Si $f$ n'est pas impaire, alors $f(-x)\neq -f(x)$ pour tout $x\in D$ .
Si $f$ est impaire, alors $f(0)=0$ .
Si $f$ est impaire, alors $f(x)\gt 0$ pour tout $x\gt 0$ et $f(x)\lt 0$ pour tout $x\lt 0$ .
Si $f$ est paire, alors $f^2$ est aussi paire.
Si $f$ est impaire, alors $f^2$ est aussi impaire.
$f$ est en même temps paire et impaire si et seulement si $f$ est identiquement nulle sur $D$ .