Une autre propriété qu'une fonction peut posséder est par rapport à son
comportement vis-à-vis de la transformation \(x\mapsto -x\).
Ci-dessous, on considère des fonctions dont le domaine
\(D\subset \mathbb{R}\) est symétrique c'est-à-dire que
si \(x\in D\), alors \(-x\in D\).
Si le point \((x,y)=(x,f(x))\) appartient au graphe de \(f\), alors le point \[ (-x,f(-x))=(-x,f(x))=(-x,y) \] appartient aussi au graphe de \(f\). On conclut que le graphe d'une fonction paire est invariant sous l'effet d'une réflexion par rapport à l'axe \(Oy\).
Si le point \((x,y)=(x,f(y))\) appartient au graphe, alors le point \[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x))=(-x,-y) \] appartient aussi graphe de \(f\). Donc le graphe d'une fonction impaire est invariant sous une rotation de \(180^o\) autour de l'origine:
Exemple: Décrivons l'exemple qui est à l'origine de la dénomination de fonction ''paire'' ou ''impaire''. Pour un entier \(p\in \mathbb{Z}\), la fonction \[f(x)=x^p\] est
Exemple: Sur \(D=\mathbb{R}\), \(x\mapsto\cos(x)\) est paire,
Exemple: Montrons que la fonction \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\) définie par \[ f(x)=\frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}\, \] est paire. En effet, pour tout \(x\in \mathbb{R}^*\), \[ f(-x)=\frac{\sin(2(-x))}{e^{-x}-e^{-(-x)}}= \frac{-\sin(2x)}{-(e^x-e^{-x})}= \frac{\sin(2x)}{e^x-e^{-x}}=f(x)\,. \]
Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (resp. pas impaire), il suffit de trouver un point \(x_*\) de son domaine où \(f(-x_*)\neq f(x_*)\) (resp. \(f(-x_*)\neq -f(x_*)\)).
Une fonction, en général, n'a pas de raison d'être paire ou impaire; pourtant toute fonction contient contient un peu d'une fonction paire, et un peu d'une fonction impaire:
Lemme: Si \(D\) est symétrique, toute fonction \(f:D\to \mathbb{R}\) peut s'écrire, de manière unique, comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Cherchons à écrire \(f(x)=p(x)+i(x)\), où \(p(x)\) est paire et \(i(x)\) est impaire. On doit donc avoir \[f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)\,,\] et donc \(i(x)\) et \(p(x)\) doivent satisfaire \[\begin{aligned} f(x)&=p(x)+i(x)\\ f(-x)&=p(x)-i(x)\,. \end{aligned}\] Ce petit système linéaire se résout facilement. Sa solution est unique, et donnée par \[ p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,,\qquad i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\,.\]
Exemple: Sur \(\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\) n'est ni paire ni impaire, mais on peut quand-même l'écrire \(e^x=p(x)+i(x)\), où \[ p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x) \] est paire, et \[ i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x) \] est impaire. (Pour les fonctions hyperboliques, voir ici.)