La mesure en degrés consiste à associer à l'angle total une mesure de \(360\) degrés, les autres angles étant mesurés de façon proportionnelle:

La mesure en radians est plus naturelle d'un point de vue géométrique, puisqu'elle consiste à mesurer une longueur le long d'un arc de cercle. Si la longueur parcourue est égale au rayon, ceci définit un angle de un radian:

L'angle total correspond donc à la longueur de la circonférence d'un cercle de rayon \(1\), à savoir \(2\pi\). Quelques angles intermédiaires:

Soit un angle donné, dont la mesure en degrés est \(\alpha_d\) et celle en radians est \(\alpha_r\). Puisque \[ \frac{\alpha_d}{360}=\frac{\alpha_r}{2\pi}\,, \] on a la formule de conversion: \[ \alpha_d=\frac{180}{\pi}\alpha_r\,. \]

Dans le cas où l'angle est total \(\theta=2\pi\), ce secteur est un disque, et donc son aire est égale à \(\pi r^2\). Or pour un secteur quelconque, la proportionnalité existant entre l'angle \(\theta\) et l'angle total doit être la même que la proportionnalité existant entre l'aire \(A\) du secteur et celle du disque: \[ \frac{\theta}{2\pi}=\frac{A}{\pi r^2}\,. \] On a donc \[ \boxed{ A=\tfrac12 r^2\theta } \]

Le côté \(a\) est le cathète adjacent à \(\alpha\), le côté \(b\) est le cathète opposé à \(\alpha\), et \(c\) est l'hypothénuse.

Remarquons que l'on a toujours \[\tan(\alpha)=\frac{b}{a}=\frac{b/c}{a/c} =\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,. \]

Considérons \(\alpha=\frac{\pi}{4}\), que l'on peut représenter dans un triangle rectangle dont les deux cathètes sont de longueurs \(1\), ce qui implique que son hypothénuse a pour longueur \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\):

On a donc directement: \[\begin{aligned} \sin(\tfrac{\pi}{4})&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos(\tfrac{\pi}{4})&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \tan(\tfrac{\pi}{4})&=\frac{1}{1}=1\,. \end{aligned}\]

Considérons ensuite \(\alpha=\frac{\pi}{3}\), que l'on peut représenter comme un triangle rectangle égale à une moitié d'un triangle équilatéral de côté \(1\) (dont les trois angles sont égaux à \(\frac{\pi}{3}\)):

Par Pythagore, le cathète opposé a longueur \(l=\sqrt{1^2-(\frac12)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). On en déduit: \[\begin{aligned} \sin(\tfrac{\pi}{3})&=\frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos(\tfrac{\pi}{3})&=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\ \tan(\tfrac{\pi}{3})&=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\,. \end{aligned}\] Remarquons que l'autre angle non-droit de ce triangle vaut \(\frac{\pi}{6}\), et donc on a aussi \[\begin{aligned} \sin(\tfrac{\pi}{6})&=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\\ \cos(\tfrac{\pi}{6})&=\frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan(\tfrac{\pi}{6})&=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,. \end{aligned}\]

Nous l'avons dit plus haut, ce qui définit les fonctions trigonométriques sont des proportions (ici: des quotients de longueurs); elles ne dépendent pas du triangle utilisé pour les définir. On peut donc choisir de toujours les définir à partir d'un triangle dont l'hypothénuse est de longueur égale à \(1\).

Or un triangle dont l'hypothénuse est de longueur \(1\) peut être placé dans le plan cartésien, avec l'angle à l'origine, le cathète adjacent le long de l'axe \(Ox\). Son sommet , noté \(P\) sur l'image ci-dessous, est donc placé sur le cercle de rayon \(1\) centré à l'origine, appelé cercle trigonométrique. Les trois nombres \(\sin(\alpha)\), \(\cos(\alpha)\) et \(\tan(\alpha)\) peuvent alors être vus comme des longueurs (sur l'animation, faire varier \(\alpha\) en déplaçant \(P\)):

L'utilisation du cercle trigonométrique permet de généraliser naturellement ces fonctions, en les définissant pour un angle quelconque \(\alpha\in\mathbb{R}\) (à part la tangente, définie pour tout angle qui n'est pas de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in \mathbb{Z}\)).

Graphe de la fonction \(\sin:\mathbb{R}\to [-1,1]\):

Graphe de la fonction \(\cos:\mathbb{R}\to [-1,1]\):

Graphe de la fonction \(\tan:\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\to \mathbb{R}\):

Par exemple, sous la transformation \(\alpha\mapsto \alpha+2\pi\), ces fonctions sont inchangées: \[ \sin(\alpha+2\pi)=\sin(\alpha)\,,\qquad \cos(\alpha+2\pi)=\cos(\alpha)\,. \] On a par contre que \[ \tan(\alpha+\pi)=\tan(\alpha)\,,\qquad \] on dit que la tangente est périodique, de période \(\pi\).

Ensuite, sous la transformation \(\alpha\mapsto \alpha+\pi\), \[\begin{aligned} \sin(\alpha+\pi)&=-\sin(\alpha)\\ \cos(\alpha+\pi)&=-\cos(\alpha)\\ \tan(\alpha+\pi)&=\tan(\alpha)\,, \end{aligned}\] et sous \(\alpha\mapsto \alpha+\frac{\pi}{2}\), \[\begin{aligned} \sin(\alpha+\tfrac{\pi}{2})&=\cos(\alpha)\\ \cos(\alpha+\tfrac{\pi}{2})&=-\sin(\alpha)\\ \tan(\alpha+\tfrac{\pi}{2})&=\frac{-1}{\tan(\alpha)}\,. \end{aligned}\]

Sous la transformation \(\alpha\mapsto \frac{\pi}{2}-\alpha\): \[\begin{aligned} \sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)&=\cos(\alpha)\\ \cos(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)&=\sin(\alpha)\\ \tan(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)&=\frac{1}{\tan(\alpha)}\,. \end{aligned}\] Enfin, \[\begin{aligned} \sin(-\alpha)&=-\sin(\alpha)\\ \cos(-\alpha)&=\cos(\alpha)\\ \tan(-\alpha)&=-\tan(\alpha) \end{aligned}\]

Les formules ci-dessus permettent de trouver des formules exactes pour des angles plus compliqués que les quelques angles remarquables mentionnés plus haut. En effet, si on sait par exemple que \(\cos(\frac{\alpha}{2})\geqslant 0\), et qu'on connaît \(\cos(\alpha)\), on peut utiliser la formule ci-dessus comme suit: \[ \cos(\tfrac{\alpha}{2})=+\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}\,. \]