Relire l'exemple de \(f(x)=\sin(\omega x)\)
donné ici.
On distingue trois cas selon la valeur de \(m\):
Si \(m=0\), alors
\[
f^{(n)}(x)=0\,,\qquad \forall n\in \mathbb{N}^*\,.
\]
Si \(m\geqslant 1\), alors
\[\begin{aligned}
f^{(1)}(x)&=m\cdot x^{m-1}\\
f^{(2)}(x)&=m(m-1)\cdot x^{m-2}\\
f^{(3)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdot x^{m-3}\\
\vdots\\
f^{(m-1)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdots 2\cdot x\\
f^{(m)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdots 2 \cdot 1\\
f^{(m+1)}(x)&=0\\
f^{(m+2)}(x)&=0\\
\vdots
\end{aligned}\]
On peut donc écrire:
\[
f^{(n)}(x)=
\begin{cases}
m(m-1)(m-2) \cdots (m-n+1) x^{m-n}\,, & n\leqslant m \\
0\,, & n>m
\end{cases}
\]
Si \(m\leqslant -1\), alors
\[f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2) \cdots (m-n+1) x^{m-n}\] pour
tout \(n\in \mathbb{N}^*\).
On commence par calculer les quatre premières dérivées de \(f\):
\[\begin{aligned}
f'(x)&=2\cos(2x)-2\sin(x) \\
f''(x)&=-4\sin(2x) -2\cos(x)\\
f'''(x)&=-8\cos(2x)+2\sin(x) \\
f^{(4)}(x)&=16\sin(2x)+2\cos(x)\,.
\end{aligned}\]
Une façon d'écrire la dérivée \(n\)-ème est donc de
distinguer deux cas selon la parité de \(n\in \mathbb{N}^*\):
\[
f^{(n)}(x) = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}\big(2^n\sin (2x)+2\cos(x)\big), &
n\text{ pair} \\
(-1)^{\frac{n-1}{2}}\big(2^n\cos (2x)-2\sin(x)\big), & n\text{ impair}
\end{cases}
\]
Une façon plus compacte est d'écrire (voir cours)
\[
f^{(n)}(x)=2^n\sin(2x+n\tfrac{\pi}{2})+2\cos(x+n\tfrac{\pi}{2})\,.
\]
Comme \(f(x)=\log(x)\) donne \(f'(x)=x^{-1}\), on
peut utiliser le résultat ci-dessus avec \(m=-1\) pour obtenir
\[\begin{aligned}
f^{(n)}(x)
&= (f')^{(n-1)}(x)\\
&=(-1)(-2)(-3) \cdots(-(n-1)) x^{-1-(n-1)} \\
&=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\,.
\end{aligned}\]