Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

9.7 Dérivées d'ordres supérieurs

On verra, plus tard, que les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction jouent un rôle important dans l'analyse fine de cette fonction au voisinage d'un point (voir en particulier la Formule de Taylor).

Soit \(f:I\to \mathbb{R}\), dérivable en chaque point de l'intervalle ouvert \(I\). On note sa dérivée, qui est la première dérivée, \[ f^{(1)}:= f'\,. \] Ensuite, si \(f^{(1)}:I\to\mathbb{R}\) est elle-même dérivable, on dit que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\), et on note sa deuxième dérivée comme suit: \[ f^{(2)}:= (f^{(1)})'\,. \] Aussi, pour \(k\geqslant 2\), si la (\(k-1\))-ème dérivée \(f^{(k-1)}:I\to\mathbb{R}\) existe et est dérivable sur \(I\), on dit que \(f\) est \(k\) fois dérivable sur \(I\), et on note sa \(k\)-ème dérivée comme suit: \[ f^{(k)}:= (f^{(k-1)})'\,. \] Remarquons que si \(f^{(k)}\) existe, cela entraîne que \(f^{(k-1)}\) est dérivable, et donc en particulier continue.

Exemple: Si \(f(x)=x^m\), alors \[\begin{aligned} f'(x)&=mx^{m-1}\\ f^{(2)}(x)&=m(m-1)x^{m-2}\\ f^{(3)}(x)&=m(m-1)(m-2)x^{m-3}\\ &\vdots\\ f^{(m)}(x)&=m(m-1)(m-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1=m!\,. \end{aligned}\] Puisque \(f^{(m)}\) est une fonction constante, les dérivées d'ordre supérieur à \(m\) sont toutes nulles: pour tout \(k\gt m\), \[ f^{(k)}(x)=0\quad \forall x\in \mathbb{R}\,. \]

Exemple: Si \(f(x)=\sin (\omega x)\), où \(\omega\) est une constante. On a \[\begin{aligned} f'(x)&=\omega \cos (\omega x)\\ f^{(2)}(x)&=-\omega^2\sin(\omega x)\\ f^{(3)}(x)&=-\omega^3\cos(\omega x)\\ &\vdots\\ \end{aligned}\] On peut écrire explicitement la \(k\)-ème dérivée, comme une fonction de \(k\). En effet, en utilisant les relations \[\begin{aligned} \sin(z+\tfrac{\pi}{2})&=\cos(z)\,,\\ \sin(z+\pi)&=-\sin(z)\,, \end{aligned}\] on a \[ f^{(k)}(x)=\omega^k\sin(\omega x+k\tfrac{\pi}{2})\,. \]

Remarque: On ne peut pas toujours exprimer une grande dérivée aussi explicitement en fonction de \(k\)!