Analyse 1 MATH-101(pi)

Séance Contact 09, Lundi 18 nov

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Examen blanc

L'Examen blanc 2024 et ceux des années précédentes sont en ligne, sous Examen blanc.

Calculez \(N\), votre nombre de points, comme suit.

Pour les questions à choix multiple: \(+3\) points si la réponse est correcte, \(-1\) si elle est fausse, \(0\) si vous n'avez pas répondu.
Pour les vrai/faux: \(+1\) si correct, \(-1\) si incorrect, \(0\) si vous n'avez pas répondu.

Comme le nombre maximum de points est \(N_{max}=8\cdot 3+5\cdot 1=29\), estimez votre ''note'' \(x\in [1,6]\cap\mathbb{Q}\) par le barême fédéral: \[ x=\left(5\times \frac{N}{N_{max}}\right) +1\,, \] arrondi au quart de point.

(Remarque: si vous n'avez pas fait l'examen, votre note est ''NA''.) Exemples de mauvais cochages

Vu sur Speakup

Deux questions sur la Série 09, je passe.
" Serait il possible de passer sur l’exemple 8.8 avec la fonction continue sur les irrationnel et discontinue en tout point rationnel ? " \(\to\) Venez me voir.
" J'aimerais voir une explication plus claire de la conséquence 3 du Théorème des accroissements finis " \(\to\) Remarques à propos de \[ \lim_{x\to x_0}f'(x) \qquad\text{ vs }\qquad f'(x_0) \]

Continuité

Exercice 1: La fonction \[ f(x)= \begin{cases} x^2 & \text{ si } x \leqslant 2 \\ 3x-2 & \text{ si } x \gt 2 \end{cases} \] est-elle continue en \(x=2\)? Solution

Oui, puisque \(f(2)=2^2=4\), et \[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}f(x)&=\lim_{x\to 2^-}x^2=4\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)&=\lim_{x\to 2^+}(3x-2)=3\cdot 2-2=4\,, \end{aligned}\] et donc \(\lim_{x\to 2}f(x)=4=f(2)\).

Exercice 2: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) une fonction continue telle que \(f(x)^2=1\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est constante. Solution

On sait que \(f(x)\in\{-1,+1\}\) pour tout \(x\). Supposons que \(f\) n'est pas constante, c'est-à-dire qu'il existe une paire \(x_1\lt x_2\) telle que \(f(x_1)\neq f(x_2)\). Comme \(f\) ne prend que les valeurs \(\pm 1\), on n'a que deux cas à traiter.

Si \(f(x_1)=-1\) et \(f(x_2)=+1\), alors le Théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un point \(x\in]x_1,x_2[\) où \(f(x)=\tfrac12\), ce qui est impossible.
Si \(f(x_1)=+1\) et \(f(x_2)=-1\), (pareil).

Donc \(f(x_1)=f(x_2)\) pour toute paire \(x_1\neq x_2\), donc \(f\) est constante.

Exercice 3: Soit \(f:[0,4]\to\mathbb{R}\) une fonction continue non-constante, telle que \(f(0)=f(4)\). Montrer qu'il existe \(\widetilde{x}\in [0,2]\) tel que \[f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\,.\] (On commencera par se convaincre que le résultat doit être vrai, sur un dessin.) Solution

Considérons \(g:[0,2]\to\mathbb{R}\), la fonction continue définie par \[ g(x):= f(x)-f(x+2)\,. \] Regardons la valeur de \(g(0)=f(0)-f(2)\).

Si \(g(0)=0\), alors \(f(0)=f(2)\) donc on peut prendre \(\widetilde{x}=0\).
Si \(g(0)\gt 0\), la condition \(f(0)=f(4)\) implique que \[ g(2)=f(2)-f(2+2)=f(2)-f(4)=f(2)-f(0)=-(f(0)-f(2))=-g(0)\lt 0\,. \] En appliquant le Théorème des valeurs intermédiaires à \(g\) sur \([0,2]\), on en déduit l'existence d'un \(\widetilde{x}\in ]0,2[\) tel que \(g(\widetilde{x})=0\), c'est-à-dire tel que \(f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\).
Pareil si \(g(0)\lt 0\).

Exercice 4: (Variante de l'Ex-09-04 3), en plus simple.) Donner l'ensemble \(C\) des points de \(\mathbb{R}\) où la fonction \[ f(x)= \begin{cases} x^2&\text{ si }x\in\mathbb{Q}\,,\\ 0&\text{ si }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,. \end{cases} \] est continue. Solution

\(C=\{0\}\).

Dérivabilité

Exercice 5:

Vrai ou faux? La fonction \[ f(x)= \begin{cases} x^2+3x&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\, \end{cases} \] est dérivable partout et \[ f'(x)= \begin{cases} 2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\, \end{cases} \] Solution

C'est faux, puisque \[\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2+3x}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}(x+3)=3\neq 0\,. \end{aligned}\] En dehors de \(0\), \(f'(x)=2x+3\). Donc \[ f'(x)= \begin{cases} 2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 3&\text{ si }x=0\, \end{cases} \]

Remarque: Cette fonction peut être écrite plus simplement: \(f(x)=x^2+3x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et \(f'(x)=2x+3\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Exercice 6: (2015) Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la fonction définie par \(f(x)=\arctan(\sin(x))\). Alors

\(f\) est bornée et \(\lim_{x\to \infty}f(x)=\frac{\pi}{2}\)
\(f\) est périodique et \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\)
\(f\) est impaire et \(f'(\pi)=1\)
\(f\) est continue et croissante

Solution

On voit facilement que

\(f\) est bornée: \(-\frac{\pi}{2}\leqslant f(x)\leqslant +\frac{\pi}{2}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
\(f(x)\) n'a pas de limite lorsque \(x\to+\infty\).
\(f\) est \(2\pi\)-périodique (puisque \(x\mapsto \sin(x)\) a période \(2\pi\))
\(\lim_{x\to 0}f(x)=0\)
\(f\) est impaire (puisque \(x\mapsto \sin(x)\) et \(x\mapsto \arctan(x)\) sont impaires)
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\)
\(f'(x)=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)^2}\), donc \(f\) n'est pas croissante (sa dérivée a le même signe que le cosinus, qui change tout le temps de signe), et \(f'(\pi)=-1\)

Exercice 7: Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par \[f(x)= \begin{cases} x+x^3\sin(\tfrac{10}{x})& x\neq 0\,,\\ 0 & x=0\,. \end{cases} \]

Est-ce que \(f\) est dérivable en \(x_0=0\)?
Est-ce que \(f\) est continûment dérivable en \(x_0=0\)?

Solution

La réponse est deux fois ''oui''.

Puisque \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\\ &= \lim_{x\to 0}\left(1+x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)\right)=1\,, \end{aligned}\] \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=1\).
Si \(x\neq 0\) alors \[\begin{aligned} f'(x) &=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)+x^3\left(\frac{-1}{x^2}\right) \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\\ &=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)-x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\,, \end{aligned}\] on a que \[ \lim_{x\to 0}f'(x)=1=f'(0)\,, \] et donc \(f\) est continûment dérivable en \(0\).

Question: Et si on remplaçait, dans la fonction de départ, ''\(x^3\sin(1/x)\)'' par ''\(x^2\sin(1/x)\)''?

Exercice 8: Calculer la dérivée de la fonction ''racine carrée'', en utilisant uniquement le fait qu'elle est définie comme la réciproque de la fonction ''au carré''. Indication: Il s'agit de mettre méticuleusement en place l'utilisation du théorème dans Dérivée d'une fonction réciproque. Solution

On rappelle (voir Solutions de \(x^2=2\)) que la fonction racine carrée est construite avant tout comme la réciproque de la bijection \[\begin{aligned} f:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto f(x)=x^2\,, \end{aligned}\] à savoir \[\begin{aligned} g:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ y&\mapsto g(y)=\sqrt{y} \end{aligned}\] On se met dans le cadre du théorème dans Dérivée d'une fonction réciproque en se restreignant à un ensemble de départ ouvert, en prenant \(I=F=\mathbb{R}_+^*\): \[\begin{aligned} f:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\ x&\mapsto f(x)=x^2\,, \end{aligned}\] \[\begin{aligned} g:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\ y&\mapsto g(y)=\sqrt{y} \end{aligned}\] Si on fixe \(y_0\in\mathbb{R}_+^*\), on calcule \(g'(y_0)=(f^{-1})(y_0)\) en utilisant la formule du théorème. Au point \(x_0=f^{-1}(y_0)=g(y_0)\gt 0\), on a \(f'(x_0)=2x_0\gt 0\), donc \(f'(x_0)\neq 0\), et la formule permet d'écrire \[ g'(y_0)=(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{2x_0}= \frac{1}{2g(y_0)}\,. \] En d'autres termes, \[ (\sqrt{y})'=\frac{1}{2\sqrt{y}}\qquad\forall y\gt 0\,. \]