Analyse 1 MATH-101(pi)

Séance Contact 09, Lundi 18 nov

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Examen blanc

L'Examen blanc 2024 et ceux des années précédentes sont en ligne, sous Examen blanc.

Calculez $N$ , votre nombre de points, comme suit.

Pour les questions à choix multiple: $+3$ points si la réponse est correcte, $-1$ si elle est fausse, $0$ si vous n'avez pas répondu.
Pour les vrai/faux: $+1$ si correct, $-1$ si incorrect, $0$ si vous n'avez pas répondu.

Comme le nombre maximum de points est

N_{max}=8\cdot 3+5\cdot 1=29

, estimez votre ''note''

x\in [1,6]\cap\mathbb{Q}

par le barême fédéral:

x=\left(5\times \frac{N}{N_{max}}\right) +1\,,

arrondi au quart de point.

(Remarque: si vous n'avez pas fait l'examen, votre note est ''NA''.) Exemples de mauvais cochages

Vu sur Speakup

Deux questions sur la Série 09, je passe.
" Serait il possible de passer sur l’exemple 8.8 avec la fonction continue sur les irrationnel et discontinue en tout point rationnel ? " $\to$ Venez me voir.
" J'aimerais voir une explication plus claire de la conséquence 3 du Théorème des accroissements finis " $\to$ Remarques à propos de $\lim_{x\to x_0}f'(x) \qquad\text{ vs }\qquad f'(x_0)$

Continuité

Exercice 1: La fonction

f(x)= \begin{cases} x^2 & \text{ si } x \leqslant 2 \\ 3x-2 & \text{ si } x \gt 2 \end{cases}

est-elle continue en

x=2

? Solution

Oui, puisque $f(2)=2^2=4$ , et $\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}f(x)&=\lim_{x\to 2^-}x^2=4\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)&=\lim_{x\to 2^+}(3x-2)=3\cdot 2-2=4\,, \end{aligned}$ et donc $\lim_{x\to 2}f(x)=4=f(2)$ .

Exercice 2: Soit

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

une fonction continue telle que

f(x)^2=1

pour tout

x\in \mathbb{R}

. Montrer que

f

est constante. Solution

On sait que $f(x)\in\{-1,+1\}$ pour tout $x$ . Supposons que $f$ n'est pas constante, c'est-à-dire qu'il existe une paire $x_1\lt x_2$ telle que $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Comme $f$ ne prend que les valeurs $\pm 1$ , on n'a que deux cas à traiter.

Si $f(x_1)=-1$ et $f(x_2)=+1$ , alors le Théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un point $x\in]x_1,x_2[$ où $f(x)=\tfrac12$ , ce qui est impossible.
Si $f(x_1)=+1$ et $f(x_2)=-1$ , (pareil).

Donc

f(x_1)=f(x_2)

pour toute paire

x_1\neq x_2

, donc

f

est constante.

Exercice 3: Soit

f:[0,4]\to\mathbb{R}

une fonction continue non-constante, telle que

f(0)=f(4)

. Montrer qu'il existe

\widetilde{x}\in [0,2]

tel que

f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)\,.

(On commencera par se convaincre que le résultat doit être vrai, sur un dessin.) Solution

Considérons $g:[0,2]\to\mathbb{R}$ , la fonction continue définie par $g(x):= f(x)-f(x+2)\,.$ Regardons la valeur de $g(0)=f(0)-f(2)$ .

Si $g(0)=0$ , alors $f(0)=f(2)$ donc on peut prendre $\widetilde{x}=0$ .
Si $g(0)\gt 0$ , la condition $f(0)=f(4)$ implique que $g(2)=f(2)-f(2+2)=f(2)-f(4)=f(2)-f(0)=-(f(0)-f(2))=-g(0)\lt 0\,.$ En appliquant le Théorème des valeurs intermédiaires à $g$ sur $[0,2]$ , on en déduit l'existence d'un $\widetilde{x}\in ]0,2[$ tel que $g(\widetilde{x})=0$ , c'est-à-dire tel que $f(\widetilde{x})=f(\widetilde{x}+2)$ .
Pareil si $g(0)\lt 0$ .

Exercice 4: (Variante de l'Ex-09-04 3), en plus simple.) Donner l'ensemble

C

des points de

\mathbb{R}

où la fonction

f(x)= \begin{cases} x^2&\text{ si }x\in\mathbb{Q}\,,\\ 0&\text{ si }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,. \end{cases}

est continue. Solution

$C=\{0\}$ .

Dérivabilité

Exercice 5:

Vrai ou faux? La fonction

f(x)= \begin{cases} x^2+3x&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\, \end{cases}

est dérivable partout et

f'(x)= \begin{cases} 2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\, \end{cases}

Solution

C'est faux, puisque $\begin{aligned} f'(0) &=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2+3x}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}(x+3)=3\neq 0\,. \end{aligned}$ En dehors de $0$ , $f'(x)=2x+3$ . Donc $f'(x)= \begin{cases} 2x+3&\text{ si }x\neq 0\,,\\ 3&\text{ si }x=0\, \end{cases}$

Remarque: Cette fonction peut être écrite plus simplement: $f(x)=x^2+3x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , et $f'(x)=2x+3$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

Exercice 6: (2015) Soit

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la fonction définie par

f(x)=\arctan(\sin(x))

. Alors

$f$ est bornée et $\lim_{x\to \infty}f(x)=\frac{\pi}{2}$
$f$ est périodique et $\lim_{x\to 0}f(x)=0$
$f$ est impaire et $f'(\pi)=1$
$f$ est continue et croissante

Solution

On voit facilement que

$f$ est bornée: $-\frac{\pi}{2}\leqslant f(x)\leqslant +\frac{\pi}{2}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
$f(x)$ n'a pas de limite lorsque $x\to+\infty$ .
$f$ est $2\pi$ -périodique (puisque $x\mapsto \sin(x)$ a période $2\pi$ )
$\lim_{x\to 0}f(x)=0$
$f$ est impaire (puisque $x\mapsto \sin(x)$ et $x\mapsto \arctan(x)$ sont impaires)
$f$ est continue sur $\mathbb{R}$
$f'(x)=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)^2}$ , donc $f$ n'est pas croissante (sa dérivée a le même signe que le cosinus, qui change tout le temps de signe), et $f'(\pi)=-1$

Exercice 7: Soit

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

définie par

f(x)= \begin{cases} x+x^3\sin(\tfrac{10}{x})& x\neq 0\,,\\ 0 & x=0\,. \end{cases}

Est-ce que $f$ est dérivable en $x_0=0$ ?
Est-ce que $f$ est continûment dérivable en $x_0=0$ ?

Solution

La réponse est deux fois ''oui''.

Puisque $\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\\ &= \lim_{x\to 0}\left(1+x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)\right)=1\,, \end{aligned}$ $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=1$ .
Si $x\neq 0$ alors $\begin{aligned} f'(x) &=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)+x^3\left(\frac{-1}{x^2}\right) \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\\ &=1+3x^2\sin\left(\frac{10}{x}\right)-x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\,, \end{aligned}$ on a que $\lim_{x\to 0}f'(x)=1=f'(0)\,,$ et donc $f$ est continûment dérivable en $0$ .

Question: Et si on remplaçait, dans la fonction de départ, ''

x^3\sin(1/x)

'' par ''

x^2\sin(1/x)

''?

Exercice 8: Calculer la dérivée de la fonction ''racine carrée'', en utilisant uniquement le fait qu'elle est définie comme la réciproque de la fonction ''au carré''. Indication: Il s'agit de mettre méticuleusement en place l'utilisation du théorème dans Dérivée d'une fonction réciproque. Solution

On rappelle (voir Solutions de $x^2=2$ ) que la fonction racine carrée est construite avant tout comme la réciproque de la bijection $\begin{aligned} f:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ x&\mapsto f(x)=x^2\,, \end{aligned}$ à savoir $\begin{aligned} g:\mathbb{R}_+&\to\mathbb{R}_+\\ y&\mapsto g(y)=\sqrt{y} \end{aligned}$ On se met dans le cadre du théorème dans Dérivée d'une fonction réciproque en se restreignant à un ensemble de départ ouvert, en prenant $I=F=\mathbb{R}_+^*$ : $\begin{aligned} f:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\ x&\mapsto f(x)=x^2\,, \end{aligned}$ $\begin{aligned} g:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}_+^*\\ y&\mapsto g(y)=\sqrt{y} \end{aligned}$ Si on fixe $y_0\in\mathbb{R}_+^*$ , on calcule $g'(y_0)=(f^{-1})(y_0)$ en utilisant la formule du théorème. Au point $x_0=f^{-1}(y_0)=g(y_0)\gt 0$ , on a $f'(x_0)=2x_0\gt 0$ , donc $f'(x_0)\neq 0$ , et la formule permet d'écrire $g'(y_0)=(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{2x_0}= \frac{1}{2g(y_0)}\,.$ En d'autres termes, $(\sqrt{y})'=\frac{1}{2\sqrt{y}}\qquad\forall y\gt 0\,.$