9.10 Le Théorème des accroissements finis

Le résultat suivant, appelé Théorème des Accroissements Finis (parfois abbrégé ''TAF'' par la suite), est une généralisation du Théorème de Rolle:

Théorème: Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) . Alors il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.\]

Définissons \[ g(x):= f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\,. \] Cette fonction est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), et \(g(a)=g(b)=0\). Par le Théorème de Rolle, il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \(g'(c)=0\). Or \[ g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,, \] donc \(g'(c)=0\) est équivalent à \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Le quotient \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] représente la pente du segment qui relie le point \(A=(a,f(a))\) au point \(B=(b,f(b))\). Donc l'interprétation géométrique du théorème des accroissements finis est la suivante: si le graphe d'une fonction lisse part d'un point \(A\) et arrive à un point \(B\), il doit exister au moins un point de son graphe où la droite tangente est parallèle au segment \(AB\):

Conséquence 1: Variation de \(f\) et signe de \(f'\)
Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), continue, dérivable sur \(]a,b[\). Alors
  1. \(f\) est croissante sur \([a,b]\) \(\Leftrightarrow\) \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\).
  2. \(f\) est décroissante sur \([a,b]\) \(\Leftrightarrow\) \(f'(x)\leqslant 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\).

Supposons que \(f\) est croissante sur \([a,b]\). Considérons un point \(x\in ]a,b[\) quelconque. Comme \(f\) est dérivable en \(x\), sa dérivée est égale à sa dérivée latérale à droite: \[ f'(x)=f'_+(x)=\lim_{z\to x^+}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\,. \] Ce dernier quotient peut donc être considéré pour des \(z\gt x\), ce qui implique que le dénominateur \(z-x\gt 0\), et que le numérateur \(f(z)-f(x)\geqslant 0\) (puisque \(f\) est supposée croissante). Donc le quotient est \(\geqslant 0\), et donc sa limite est aussi positive: \(f'(x)\geqslant 0\).

Supposons maintenant que \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in [a,b]\). Soient \(x_1,x_2\in [a,b]\), \(x_1\lt x_2\). On peut appliquer le TAF sur \([x_1,x_2]\): il existe \(c\in ]x_1,x_2[\) tel que \[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\geqslant 0\,. \] Comme \(x_2-x_1>0\), ceci implique \(f(x_2)\geqslant f(x_1)\). Puisque ceci vaut pour toute paire \(x_1,x_2\) (avec \(x_1\lt x_2\)), on a bien montré que \(f\) est croissante sur \([a,b]\).

Remarque: On peut également montrer, sous les mêmes hypothèses du théorème, que

  1. \(f'(x)\gt 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement croissante sur \([a,b]\)
  2. \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement décroissante sur \([a,b]\)
Mais les réciproques de ces affirmations ne sont pas vraies! En effet, la fonction \(f(x)=x^3\) est strictement croissante, mais sa dérivée s'annule en \(0\).

Par la proposition ci-dessus, on peut étudier la variation d'une fonction dérivable, c'est-à-dire trouver les intervalles sur lesquels elle est croissante ou décroissante, simplement en étudiant le signe de sa dérivée.

Exemple: Considérons \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\), définie et dérivable sur tout \(\mathbb{R}\). On a \[ f'(x) =\left(\frac{x}{1+x^2}\right)' =\frac{1+x^2-x(2x)}{(1+x^2)^2} =\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\,. \] Le signe de \(f'\) permet ainsi de déterminer les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante ou décroissante:

En plus du fait que \(f(x)\to 0\) lorsque \(x\to \pm\infty\), ces informations permettent déjà de produire une esquisse raisonnable du graphe:

La proposition ci-dessus peut aussi s'utiliser pour démontrer des inégalités ''universelles'' entre fonctions:

Exemple: Montrons que \[ \boxed{e^x\geqslant 1+x\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,.} \] Si on pose \(f(x):= e^x-(1+x)\), il s'agit donc de montrer que \(f(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Or \[ f'(x)=e^x-1 \begin{cases} \leqslant 0&\text{ si }x\leqslant 0\,,\\ \geqslant 0&\text{ si }x\geqslant 0\,, \end{cases} \] On conclut par la proposition que

Dans tous les cas, \(f(x)\geqslant f(0)=0\), ce qui démontre l'inégalité voulue.

On remarque que \(y=1+x\) est l'équation de la droite tangente au graphe de \(f(x)=e^x\) au point \((0,1)\). On a donc en démontré que le graphe de \(f\) est toujours au-dessus de sa droite tangente:

Exemple: On peut également montrer que \[ \boxed{\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}\qquad \forall x\in \mathbb{R}\,.} \]

Conséquence 2: Les fonctions de dérivée nulle sont des constantes

Lemme: Soit \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) dérivable en tout point de \(]a,b[\). Si \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in ]a,b[\), alors \(f\) est constante.

On montre que \(f\) est constante en montrant qu'elle prend, en tout point \(x\) de l'intervalle, la même valeur qu'en un point \(x_0\) fixé. Fixons donc \(x_0\in ]a,b[\).

Prenons un autre point \(x\in ]a,b[\). Supposons que \(x\gt x_0\). Puisque \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\), elle satisfait aux hypothèses du TAF sur \([x_0,x]\): il existe un point \(c\in ]x_0,x[\) tel que \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(c)\,. \] Mais comme \(f'(c)=0\), ceci implique que \(f(x)=f(x_0)\).

Si \(x\lt x_0\), on fait la même chose sur \([x,x_0]\).

Remarque: Dans le lemme précédent, il est essentiel que le domaine de la fonction soit un intervalle, pas juste un ouvert! En effet, on peut très bien avoir une fonction définie sur un domaine qui est une union de deux intervalles ouverts, par exemple \(D=]0,1[\cup]2,3[\), dont la dérivée est nulle partout, mais qui n'est pas constante:

Comme conséquence du lemme, un résultat que l'on utilisera plus tard dans le chapitre sur l'intégration:

Soient \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) continues et dérivables sur \(]a,b[\). Si \[ f'(x)=g'(x)\qquad \forall x\in ]a,b[\,, \] alors il existe une constante \(C\) telle que \[ f(x)=g(x)+C\qquad \forall x\in ]a,b[\,. \]

Soit \(h(x):= f(x)-g(x)\). Puisque \[ h'(x)=f'(x)-g'(x)=0\quad \forall x\in ]a,b[\,, \] le lemme précédent garantit qu'il existe une constante \(C\) telle que \(h(x)=C\), et donc \(f(x)=g(x)+C\), pour tout \(x\in [a,b]\).

Conséquence 3: Dérivées latérales et limites de la dérivée
Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue, dérivable sur \(]a,b[\).
  1. Si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)\) existe et est finie, alors \(f\) est dérivable à droite en \(x=a\), et \[ f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}f'(x)\,. \]
  2. Si \(\displaystyle\lim_{x\to b^-}f'(x)\) existe et est finie, alors \(f\) est dérivable à gauche en \(x=b\), et \[ f'_-(b)=\lim_{x\to b^-}f'(x)\,. \]

Pour démontrer la première affirmation, calculons la dérivée à droite en \(a\): \[ f'_+(a)=\lim_{z\to a^+}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,. \] Appliquons le TAF sur \([a,z]\): il existe \(c_z\in ]a,z[\) tel que \[ \frac{f(z)-f(a)}{z-a}=f'(c_z)\,. \] Or \(c_z\to a^+\) lorsque \(z\to a^+\), et donc \[ \lim_{z\to a^+} \frac{f(z)-f(a)}{z-a} = \lim_{z\to a^+} f'(c_z) = \lim_{c\to a^+} f'(c)\,, \] ce qu'on voulait démontrer.

Cette dernière proposition est utile pour tester la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux, au point de raccordement. En effet, soient \(g\) et \(h\) des fonctions dérivables, et soit \[ f(x):= \begin{cases} g(x)&\text{ si }x\leqslant x_*\,,\\ h(x)&\text{ si }x> x_*\,. \end{cases} \] Supposons que \(f\) est continue en \(x_*\) (ce qui, ici, signifie que \(g(x_*)= \lim_{x\to x_*^+}h(x)\)). Pour vérifier si \(f\) est aussi dérivable en \(x_*\), on n'a a priori pas d'autre option que de calculer ses dérivées latérales en \(x_*\), \[\begin{aligned} f_-'(x_*)&=\lim_{x\to x_*^-}\frac{g(x)-g(x_*)}{x-x_*}=g'_-(x_*)\,,\\ f_+'(x_*)&=\lim_{x\to x_*^+}\frac{h(x)-g(x_*)}{x-x_*}\,, \end{aligned}\] et de voir si elles sont égales: \(f'_-(x_*)\stackrel{?}{=}f'_+(x_*)\). Mais, puisque \(g\) (resp. \(h\)) est dérivable en tout \(x\lt x_*\) (resp. \(x\gt x_*\)) proche de \(x_*\), on peut éviter de passer par les dérivées latérales.

En effet, la proposition précédente garantit que \(f'_-(x_*)=f'_+(x_*)\) si et seulement si \[ \lim_{x\to x_*^-}f'(x)=\lim_{x\to x_*^+}f'(x)\,, \] c'est-à-dire si et seulement si \[ \lim_{x\to x_*^-}g'(x)=\lim_{x\to x_*^+}h'(x)\,. \]

Exemple: Considérons la fonction suivante, déjà rencontrée plus haut, \[f(x):= \begin{cases} x^2+a x+1&\text{ si }x\leqslant 0\,,\\ \sin(2x)+b&\text{ si }x>0\,, \end{cases} \] et reposons la question: Est-il possible de choisir \(a\) et \(b\) de façon à ce que \(f\) soit dérivable en \(0\)?

On a vu que la continuité en \(0\) est garantie en imposant \(b=1\). Par la remarque ci-dessus, on garantit la dérivabilité en \(0\) en imposant \[ \lim_{x\to 0^-}\bigl(2x+a\bigr)=\lim_{x\to 0^+}2\cos(2x)\,, \] ce qui donne \(a=2\).

Une généralisation du Théorème des accroissements finis

Le Théorème de Rolle permet en fait de démontrer un résultat plus général que le Théorème des accroissements finis:

Théorème:(Théorème des Accroissements Finis généralisé (abbrégé ''TAFG'') par la suite) Soient \(f,g\) continues sur \([a,b]\), dérivables sur \(]a,b[\). Si \(g(a)\neq g(b)\), alors il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)\,.\]

Puisqu'on suppose que \(g(b)-g(a)\neq 0\), on peut définir \[r(x):= f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\,.\] Par les propriétés de \(f\)et \(g\) sur \([a,b]\), \(r\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \[ r'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)\,. \] De plus, on observe que \(r(a)=r(b)=0\). Donc, par le Théorème de Rolle, il existe \(c\in ]a,b[\) tel que \(r'(c)=0\).

Remarque: En prenant \(g(x)=x\), on voit que le TAF est un cas particulier du TAFG.

Quiz 9.10-1 : Vrai ou faux?
  1. Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), telle que \(f(a)\gt f(b)\). Alors \(f\) est décroissante sur \([a,b]\)
  2. Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\). Si \(f\) est croissante sur \([a,b]\), alors \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\).
  3. Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dérivable, et \(a\lt b\lt c\). Si \(f\) est croissante sur \([a,b[\) et décroissante sur \(]b,c]\), alors \(f'(b)=0\).
  4. Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). Si \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\lt 0\) et \(f'(x)\leqslant 0\) pour tout \(x\gt 0\), alors \(x=0\) est un maximum local.
  5. Si \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) est continue et croissante, alors elle est dérivable et \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\).
  6. Si \(f\) est dérivable sur un ouvert \(D\), et si \(f'(x)\neq 0\) pour tout \(x\in D\), alors \(f\) est soit croissante, soit décroissante sur \(D\).
  7. Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0)\gt 0\), alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(f\) est croissante sur \([x_0-\delta,x_0+\delta]\).
  8. Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0)\gt 0\), alors il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(f(x)\lt f(x_0)\) pour tout \(x\in ]x_0-\delta,x_0]\), et \(f(x)\gt f(x_0)\) pour tout \(x\in ]x_0,x_0+\delta]\).
Quiz 9.10-2 : Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) continue. Vrai ou faux?
  1. Si \(f\) atteint son maximum en \(x^*\in ]a,b[\), alors \(f\) est dérivable en \(x^*\).
  2. Si \(f\) atteint son maximum en \(a\), alors \(f\) est dérivable à droite en \(a\), et \(f'_+(a)=0\).
  3. Si \(f\) atteint son minimum en \(x_*\in ]a,b[\), et si \(f\) est dérivable en \(x_*\), alors \(f'(x_*)=0\).
  4. Si \(f\) est dérivable en tout point \(x_0\in ]a,b[\), alors elle atteint son maximum et son minimum en des points de \(]a,b[\) où sa dérivée s'annule.
  5. Si \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\), et si \(f(a)\leqslant f(x)\leqslant f(b)\) pour tout \(x\in ]a,b[\), alors \(f'(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in ]a,b[\).
  6. Si \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\), et si \(f'(x_0)\gt 0\) pour tout \(x_0\in ]a,b[\), alors \(f\) n'atteint ni son minimum, ni son maximum.
  7. Si \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\), et si \(f'(x_0)\gt 0\) pour tout \(x_0\in ]a,b[\), alors \(f\) atteint son minimum en \(a\), et son maximum en \(b\).
  8. Si \(f(a)=f(b)=H\) et si \(f'_+(a)f'_-(b)\lt 0\), alors soit \(f(x)\geqslant H\) pour tout \(x\in ]a,b[\), soit soit \(f(x)\leqslant H\) pour tout \(x\in ]a,b[\).
  9. Si \(f(a)\lt f(b)\) et si \(f'_+(a)\gt 0\) et \(f'_-(b)\gt 0\), alors \(f\) atteint son minimum en \(a\), et son maximum en \(b\).
  10. Il existe au moins un point \(x_0\in ]a,b[\) en lequel \(f\) est dérivable.
  11. Le nombre de points de \(]a,b[\) où \(f\) n'est pas dérivable est fini.
  12. Le nombre de points \(x^*\in [a,b]\) où \(f\) atteint son minimum est fini.
Quiz 9.10-3 : Parmi ces affirmations, lesquelles sont toujours vraies?
  1. Si \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) est constante sur chaque intervalle de la forme \([n,n+1[\) (\(n\in \mathbb{Z}\)), alors \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
  2. Si \(f\) est dérivable sur un ouvert \(D\), et si \(f'(x)=0\) pour tout \(x\in D\), alors \(f\) est une constante.
  3. Si \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) est telle que \(f'(x)=0\) pour pour tout \(x\in ]a,b[\), alors \(f(x_1)=f(x_2)\) pour toute paire \(x_1,x_2\in ]a,b[\).
Quiz 9.10-4 : Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\), continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\).
  1. Si \(\lim_{x\to a^+}f'(x)\) n'existe pas, alors \(f'_+(a)\) n'existe pas.
  2. Si \(\lim_{x\to a^+}f'(x)=+ \infty\), alors \(f'_+(a)=+ \infty\).
  3. Si \(f'_+(a)\) existe et est finie, alors \(\lim_{x\to a^+}f'(x)\) existe et est finie.
  4. Si \(\lim_{x\to a^+}f'(x)=0\), alors pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe \(\delta\gt 0\) tel que \(|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}|\leqslant \varepsilon\) dès que \(a\lt x\leqslant a+\delta\).

Dernière compilation: 2024-12-04 (07:30:07)

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