Exercice 05-06
Soient \(a_1\in\mathbb{R}\) et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\). On définit la suite \((a_n)_{n\geqslant 1}\) par \(a_{n+1}=g(a_n)\) pour \(n\geqslant 1\). Montrer que dans chacun des cas la suite converge, et calculer sa limite.
  1. \(g(x):=\frac{1}{4}(3x+1)\), \(a_1:=0\),
  2. \(g(x):=\frac{1}{4}(x+4)\), \(a_1:=3\),
  3. \(g(x) := \frac{7}{3}-\frac{1}{1+x}\), \(a_1:=1\),
  4. \(g(x):=1+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x\), \(a_1:=\frac32\).
Il s'agit ici de donner un argument rigoureux (pas basé sur un graphe ou une observation approximative).

Comme vu au cours, on pourra s'aider pour la résolution en commençant par chercher des points fixes de \(g\), qui s'ils existent donnent des candidats pour la limite de la suite.

  1. Avant de commencer, remarquons que cette suite peut se traiter en utilisant l'une quelconque des méthodes présentées sur l'exemple traité en détail ici.

    On voit que l'unique point fixe de \(g\) est \(x_*=1\). Comme la suite commence en \(a_0=0\lt 1\), montrons par récurrence qu'elle reste majorée par \(1\). D'abord, \(a_1=0\leqslant 1\). Ensuite, si \(a_n\leqslant 1\), alors \[ a_{n+1} =\frac{1}{4}\left(3a_n+1\right) \leqslant\frac{1}{4}(3\cdot 1+1)=1\,, \] et donc \(1\) est bien un majorant pour toute la suite.

    On montre ensuite que la suite est croissante. Pour \(n\geqslant 2\) on a \[\begin{aligned} a_{n+1}-a_{n} &=\frac{1}{4}\left(1-a_{n}\right)\\ &\geqslant\frac{1}{4}(1-1)=0\,. \end{aligned}\] (On a utilisé le fait que \(a_n\leqslant 1\).) Ainsi, \((a_n)_{n\geqslant 1}\) est convergente, car croissante et majorée. Maintenant, puisque \(g(x)=\frac14(3x+1)\) est continue, on sait que sa limite ne peut être que le point fixe de \(g\), qui est \(x_*=1\). Donc \(a_n\to 1\).
  2. L'unique point fixe de \(g\) est \(x_*=\frac{4}{3}\).

    Montrons par récurrence que la suite est minorée par \(4/3\): On a \(a_{1}=3\geqslant 4/3\). Et si on suppose que \(a_n\geqslant 4/3 \), alors \[ a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_{n}+4)\geqslant\frac{1}{4}(L+4)=\frac{4}{3}\,. \] On montre ensuite que la suite est décroissante. Pour \(n\geqslant 1\) on a \[ a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{4}(4-3a_n) \leqslant\frac{1}{4}\left(4-3\tfrac43\right)=0\,. \] Donc la suite \((a_n)_{n\geqslant 1}\) est convergente, et puisque \(g\) est continue, sa limite est le point fixe: \(a_n\to \frac{4}{3}\).
  3. Le point fixe de \(g(x)=\frac73-\frac{1}{1+x}\) satisfait \[ \frac{7}{3} - \frac{1}{1+x_*} = x_*\,, \] qui est équivalente à \[ (3x_* +2)(x_*-2) = 0 \,. \] Ainsi, \(g\) possède deux points fixes: \(x_*=2\) et \(x_*'=-\frac{2}{3}\).

    Montrons par récurrence que \(a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\geqslant 1\). On a \(a_1=1\geqslant 0\), et si \(a_{n}\geqslant 0\), alors \[ a_{n+1}=\frac{7}{3}-\frac{1}{1+a_n} \geqslant \frac{7}{3}-1 = \frac{4}{3}\geqslant 0\,. \] Ceci implique que la limite de \(a_n\) ne peut pas être \(x_*'\); donc on se tourne vers \(x_*=2\). Montrons (encore par récurrence) que toute la suite est majorée par \(2\). On a \(a_1=1\leqslant 2\), et si \(0\leqslant a_{n}\leqslant 2\), alors \[ a_{n+1} = \frac{7}{3} - \frac{1}{1+a_{n}} \leqslant \frac{7}{3}-\frac{1}{1+2} = 2\,. \] Montrons que la suite est croissante. Pour \(n\geqslant 1\) on a \[\begin{aligned} a_{n+1} - a_n &=\frac{7}{3}-\frac{1}{1+a_n} - a_n\\ &=\frac{-(3a_n+2)(a_n-2)}{3(1+a_n)}\geqslant 0\,. \end{aligned}\] En étant croissante et majorée, la suite \((a_n)_{n\geqslant 1}\) est donc convergente, et sa limite est le point fixe \(x_*=2\).