Commençons par un exemple simple de suite définie par récurrence, \[ x_{n+1}=g(x_n)\,, \] avec la fonction affine \[ g(x)=1+\frac{x}{2}\,. \] Ce cas a l'avantage de pouvoir être étudié par plusieurs méthodes; on apprendra donc quelques ''trucs'' qui seront utiles pour la suite.

Nous étudions donc la suite \((x_n)_{n\geqslant 0}\), avec une condition initiale \(x_0\), et \[x_{n+1}=1+\tfrac12 x_n\,.\] Voyons trois méthodes très différentes, qui mènent toutes à la même conclusion sur le comportement de cette suite dans la limite \(n\to\infty\).

On regarde si les premiers termes suggèrent un certain comportement, puis on essaie de montrer rigoureusement que la suite suit effectivement ce comportement pour tout \(n\).

Par exemple, commençons avec \(x_0=5\), et regardons quelques termes: \[ x_0=5,\,x_1=3.5\,,\,x_2=2.75\,,\,x_3=2.375\,,\,x_4=2.1875\,,\dots \] Ces premiers termes semblent indiquer que la suite décroît.

Pour commencer, essayons donc de montrer que cette suite est monotone. Pour ce faire, considérons la différence \(x_{n+1}-x_n\), en écrivant explicitement deux termes consécutifs, chacun en fonction du précédent: \[\begin{aligned} x_{n+1}&=1+\tfrac12 x_n\\ x_{n}&=1+\tfrac12 x_{n-1} \end{aligned}\] En soustrayant, on obtient \[x_{n+1}-x_n=\tfrac12(x_n-x_{n-1})\,,\] et comme cette dernière vaut pour tout \(n\), on peut l'itérer: \[\begin{aligned} x_{n+1}-x_n &=\tfrac12(x_n-x_{n-1})\\ &=\tfrac1{2^2}(x_{n-1}-x_{n-2})\\ &\vdots\\ &=\tfrac1{2^n}(x_1-x_0)\\ &=\tfrac1{2^n}((1+\tfrac{x_0}{2})-x_0) =\tfrac1{2^n}(1-\tfrac{x_0}{2})\\ \end{aligned}\] Cette suite d'égalités montre en particulier que pour tout \(n\), le signe de \(x_{n+1}-x_n\) est le même que celui de \(1-\frac{x_0}{2}\): \[ x_{n+1}-x_n =\tfrac1{2^n}(1-\tfrac{x_0}{2}) \begin{cases} \lt 0 &\text{ si }x_0\gt 2\\ = 0 &\text{ si }x_0=2\\ \gt 0 &\text{ si }x_0\lt 2\,. \end{cases} \]

On peut donc conclure sur la monotonie de notre suite:

• \((x_n)\) est strictement décroissante si \(x_0\gt 2\),
• \((x_n)\) est constante égale à \(2\) si \(x_0=2\),
• \((x_n)\) est strictement croissante si \(x_0\lt 2\),

Dans le cas où \(x_0=2\), la suite reste constante \(x_n=2\), et donc \[ \lim_{n\to\infty}x_n=2\,. \] Dans le cas où \(x_0\neq 2\), la suite n'est pas constante mais elle est strictement monotone, donc on peut espérer montrer qu'elle converge en la majorant (dans le cas où elle croît) ou en la minorant (dans le cas où elle décroît).

• Si \(x_0\lt 2\), on montre par récurrence que \((x_n)\) reste majorée par \(M=2\). En effet, l'affirmation est vraie pour \(n=0\), et si on suppose que \(x_n\lt 2\), alors \[ x_{n+1}=1+\underbrace{\frac{x_n}{2}}_{\lt 1}\lt 1+1=2\,. \]
• Si \(x_0\gt 2\), on montre par récurrence que \((x_n)\) reste minorée par \(m=2\). En effet, l'affirmation est vraie pour \(n=0\), et si on suppose que \(x_n\gt 2\), alors \[ x_{n+1}=1+\underbrace{\frac{x_n}{2}}_{\gt 1}\gt 1+1=2\,. \]

On sait donc, dans les deux cas (\(x_0\lt 2\) et \(x_0\gt 2\)), que la suite est convergente, puisque monotone et bornée. Donc on a garanti l'existence de la limite \[ L=\lim_{n\to\infty} x_n\,. \] Reste à savoir ce que vaut \(L\)...

Or si on reprend encore une fois la relation qui définit toute la suite, \[ x_{n+1}=1+\tfrac12 x_n\,, \] maintenant que l'on sait que \(x_n\to L\), on peut prendre la limite \(n\to\infty\) des deux côtés: \[ \underbrace{x_{n+1}}_{\to L}=1+\tfrac12 \underbrace{x_n}_{\to L}\,. \] Ainsi, \(L\) doit être solution de l'équation \[ L=1+\tfrac12 L\,. \] En résolvant, on obtient \(L=2\). On a donc montré que \[\lim_{n\to \infty} x_n=2\qquad \forall x_0\in \mathbb{R}\,.\]

On essaie d'exprimer chaque \(x_n\) explicitement en fonction de \(n\). Pour cela, il est bien d'écrire les quelques premiers termes, pour essayer de voir apparaître une certaine structure \[\begin{aligned} x_1&=1+\tfrac12 x_0\\ x_2&=1+\tfrac12 x_1=1+\tfrac12(1+\tfrac12 x_0)=1+\tfrac12+(\tfrac12)^2 x_0\\ x_3&=1+\tfrac12x_2=1+\tfrac12(1+\tfrac12 x_1)=1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+(\tfrac12)^3x_0\,. \end{aligned}\] On peut donc conjecturer que pour tout \(n\), \[ x_n=1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+\cdots+(\tfrac12)^{n-1}+(\tfrac12)^nx_0\,. \] On a vérifié que cette expression est vraie pour \(n=1,2,3\). Maintenant, si elle est vraie pour \(n\), alors \[\begin{aligned} x_{n+1} &=1+\tfrac12 x_n\\ &=1+\tfrac12(1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+\cdots+(\tfrac12)^{n-1}+(\tfrac12)^nx_0)\\ &=1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+\cdots+(\tfrac12)^n+(\tfrac12)^{n+1}x_0\,, \end{aligned}\] et donc elle est vraie aussi pour \(n+1\). Par récurrence, elle est vraie pour tout \(n\).

Maintenant, on remarque dans l'expression générale de \(x_{n}\) une somme géométrique de raison \(r=\frac12\): \[ 1+\tfrac12+(\tfrac12)^2+\cdots+(\tfrac12)^{n-1}=\frac{1-(\tfrac12)^{n}}{1-\tfrac12} =2(1-(\tfrac12)^{n})\,. \] On a donc réussi à exprimer \(x_{n}\) explicitement en fonction de \(n\): \[ x_{n}=2(1-(\tfrac12)^{n})+(\tfrac12)^{n}x_0\,, \] ce qui permet de calculer la limite \(n\to \infty\). En effet, \((\tfrac12)^{n}\to 0\) et \((\tfrac12)^nx_0\to 0\), quelle que soit la valeur de \(x_0\). Donc la limite ne dépend pas de la condition initiale, et vaut \[ \lim_{n\to \infty} x_n =2\qquad \forall x_0\in \mathbb{R}\,. \]

On essaie de montrer que la suite converge, en montrant que c'est une suite de Cauchy.

D'après le calcul fait dans la Méthode 1, \[ |x_{k+1}-x_k|=\tfrac{1}{2^{k}}|1-\tfrac{x_0}{2}|\quad \forall k\,. \] On peut alors étudier, pour \(n\gt m\), \[\begin{aligned} |x_n-x_m|&=\bigl|(x_{n}-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots +(x_{m+1}-x_m)\bigr|\\ &\leqslant \sum_{k=m}^{n-1}|x_{k+1}-x_k|\\ &\leqslant |1-\tfrac{x_0}{2}| \sum_{k=m}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}\\ &=|1-\tfrac{x_0}{2}|\Bigl\{ \frac{1-(\frac12)^{n}}{1-\tfrac12} - \frac{1-(\frac12)^{m}}{1-\tfrac12} \Bigr\}\\ &=|1-\tfrac{x_0}{2}|\Bigl\{\frac{1}{2^{m-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}\Bigr\}\,, \end{aligned}\] qui tend vers zéro lorsque \(n,m\to\infty\), quelle que soit la valeur de \(x_0\). Ceci montre que \((x_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite de Cauchy, et donc qu'elle converge: \[L=\lim_{n\to \infty} x_n\,.\]

On obtient la valeur de \(L\) comme on l'a fait avant, en prenant la limite \(n\to\infty\) des deux côtés de la relation \(x_{n+1}=1+\frac{x_n}{2}\). On a donc montré que \[\lim_{n\to \infty} x_n=2\qquad \forall x_0\in \mathbb{R}\,.\]