Exercice 06-07
Soit \((x_n)\) une suite croissante.
  1. Montrer que si \((x_n)\) possède une sous-suite majorée, alors \((x_n)\) est majorée.
  2. Montrer que si \((x_n)\) possède une sous-suite qui tend vers l'infini, alors elle tend vers l'infini.
Ces deux propriétés seront utilisées au cours, dans la démonstration de résultats importants dans l'étude des séries. Par exemple,
  1. Soit \((x_{n_k})\) une sous-suite pour laquelle il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que \(x_{n_k}\leqslant M\) pour tout \(k\). Montrons que ceci implique que \(x_n\leqslant M\) pour tout \(n\). Par l'absurde, supposons qu'il existe \(n_*\) tel que \(x_{n_*}\gt M\). Puisque \(n_k\to \infty\) lorsque \(k\to\infty\), on a \(n_k\gt n_*\) pour tout \(k\) suffisamment grand. Comme la suite est monotone, ceci implique que pour \(k\) suffisamment grand, \(x_{n_k}\geqslant x_{n_*}\gt M\), une contradiction.
  2. Soit \((x_{n_k})\) une sous-suite telle que \(\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=+\infty\). Cela signifie que pour tout seuil \(M\gt 0\), il existe \(K_0\) tel que \(x_{n_k}\geqslant M\) pour tout \(k\geqslant K_0\). Puisque \((x_n)\) est monotone, ceci implique que \(x_n\geqslant M\) pour tout \(n\geqslant n_{K_0}\). Par conséquent, \(\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\).