Exercice 02-01
Montrer que dans R\mathbb{R},
  1. Si x⩽yx\leqslant y et x′⩽y′x'\leqslant y', alors x+x′⩽y+y′x+x'\leqslant y+y'.
  2. Si x⩽yx\leqslant y, alors −y⩽−x-y\leqslant -x.
  3. Si z>0z\gt 0, alors x⩽yx\leqslant y si et seulement si xz⩽yzxz\leqslant yz.
  4. Si 0<x⩽y0\lt x\leqslant y, alors 1/x⩾1/y1/x\geqslant 1/y.
Cet exercice peut sembler un peu ''simple'' au premier abord, mais pour le faire on est obligé de relire les propriétés qui définissent R\mathbb{R}, à savoir ce qui définit un corps ordonné, comme défini ici et ici.

Ces propriétés sont utilisées constamment quand on manipule des inégalités, en particulier quand on étudie des limites.

Remarquons encore que ces propriétés sont vraies dans n'importe quel corps ordonné.
  1. Pour la première identité, commençons par remarquer que x⩽yx\leqslant y implique x+x′⩽y+x′x+x'\leqslant y+x' (puisqu'une des propriétés de l'ordre est qu'il ne change pas si on additionne la même quantité des deux côtés.)

    Pour la même raison, x′⩽y′x'\leqslant y' implique x′+y⩽y′+yx'+y\leqslant y'+y. On a donc x+x′⩽y+x′=x′+y⩽y′+y=y+y′ . x+x'\leqslant y+x'=x'+y\leqslant y'+y=y+y'\,.
  2. Pour la deuxième, remarquons que x⩽yx\leqslant y implique 0=x+(−x)⩽y+(−x)0=x+(-x)\leqslant y+(-x). En additionnant −y-y aux deux membres de cette dernière, on obtient −y⩽y+(−x)+(−y)=y+(−y)+(−x)=−x . -y\leqslant y+(-x)+(-y)=y+(-y)+(-x)=-x\,.
  3. Notons que x⩽yx\leqslant y implique y−x⩾0y-x\geqslant 0 (on rajoute −x-x des deux côtés). Si on multiplie cette dernière par z⩾0z\geqslant 0, alors (y−x)z⩾0(y-x)z\geqslant 0 (voir la 5ème propriété énoncée ici, c'est-à-dire yz−xz⩾0yz-xz\geqslant 0 (par la distributivité), que l'on peut écrire yz⩾xzyz\geqslant xz.
  4. Pour la quatrième, on commence avec 0<x⩽y0\lt x\leqslant y. Comme ceci implique en particulier que y>0y\gt 0, et donc que yy possède un inverse y−1y^{-1}. Si on multiplie des deux côtés de l'inégalité par y−1y^{-1}, on obtient xy−1⩽yy−1=1 . xy^{-1}\leqslant yy^{-1}=1\,. En multipliant ensuite des deux côtés par x−1x^{-1}, cette dernière devient x−1xy−1⩽x−1 , x^{-1}xy^{-1}\leqslant x^{-1}\,, qui n'est autre que y−1⩽x−1y^{-1}\leqslant x^{-1}.