Les nombres réels forment avant tout un ensemble dans lequel on peut faire de l'arithmétique, c'est-à-dire dans lequel on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser. (En mathématiques, un ensemble muni de ces opérations est appelé un corps. )

La première opération, l'addition notée ''\(+\)'', est une opération qui associe à une paire de réels \(x,y\) un nouveau réel noté \(x+y\). Cette opération satisfait aux propriétés suivantes:

1. \(x+y=y+x\) pour toute paire \(x,y\in \mathbb{R}\)
2. \(x+(y+z)=(x+y)+z\) pour tous \(x,y,z\in \mathbb{R}\)
3. Il existe un élément \(0\in \mathbb{R}\), appelé élément neutre pour l'addition (ou simplement ''zéro''), tel que \(x+0=0+x=x\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
4. Pour tout \(x\in \mathbb{R}\) il existe un unique élément noté \(-x\in \mathbb{R}\) et appelé opposé de \(x\), tel que \(x+(-x)=0\).

Si \(x,y\in \mathbb{R}\), on peut définir leur soustraction: \[ x-y:= x+(-y)\,. \] La deuxième opération, la multiplication, notée ''\(\cdot\)'', associe à une paire de réels \(x,y\) un nouveau réel noté \(x\cdot y\). Elle satisfait aux propriétés suivantes:

1. \(x\cdot y=y\cdot x\) pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\)
2. \(x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z\) pour tout triplet \(x,y,z\in \mathbb{R}\)
3. \(x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\) pour tous \(x,y,z\in \mathbb{R}\),
4. Il existe un élément \(1\in \mathbb{R}\), appelé élément neutre pour la multiplication (ou simplement ''un''), tel que \(1\cdot x=x\cdot 1=x\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
5. Pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(x\neq 0\), il existe un unique élément noté \(x^{-1}\in \mathbb{R}\), appelé inverse de \(x\), tel que \(x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1\).

Souvent, on écrit \(xy\) au lieu de \(x\cdot y\).

Si \(x,y\in \mathbb{R}\) et si \(y\neq 0\), on peut définir leur division: \[\begin{aligned} x\div y:= x\cdot y^{-1}\,. \end{aligned}\] En général, on écrit \(\frac{x}{y}\) au lieu de \(x\div y\).