La deuxième caractéristique de l'ensemble des nombres réels est que deux réels
\(x,y\) peuvent toujours être comparés.
Si ils sont égaux, \(x=y\), il n'y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont
distincts, \(x\neq y\), alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que
l'autre:
Si \(x\) est plus petit que \(y\), on note \(x\lt y\).
Si \(x\) est plus grand que \(y\), on note \(x\gt y\).
Le fait que l'on puisse ainsi comparer n'importe quelle paire de réels distincts
représente ce qu'on appelle un ordre total.
Lorsqu'on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s'ils
sont distincts:
Si \(x\) est plus petit ou égal à \(y\), on note \(x\leqslant y\).
Si \(x\) est plus grand ou égal à \(y\), on note \(x\geqslant y\).
Énonçons les propriétés des relations ''\(\leqslant, \geqslant, \lt,\gt\)'':
Pour toute paire \(x,y\in \mathbb{R}\), on a soit \(x\leqslant y\), soit \(y\leqslant x\).
Si on a à la fois
\(x\leqslant y\) et \(y\leqslant x\), alors \(x=y\).
\(x\leqslant x\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
Si \(x\leqslant y\) et \(y\leqslant z\), alors \(x\leqslant z\).
Si \(x\leqslant y\), alors \(x+z\leqslant y+z\) pour tout \(z\in \mathbb{R}\).
Si \(0\leqslant x\) et \(0\leqslant y\), alors \(0\leqslant x\cdot y\)
La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer
qu'un nombre \(x\) est plus petit ou égal à un nombre \(z\), on
passera souvent par l'utilisation d'un réel intermédiaire \(y\), et on vérifiera
les deux relations ''\(x\leqslant y\)'', ''\(y\leqslant z\)'', qui ensemble garantissent
que \(x\leqslant z\).
Signe
Un réel \(x\in \mathbb{R}\) est dit
positif (resp.
strictement positif) si \(x\geqslant 0\) (resp.
\(x\gt 0\)),
négatif (resp.
strictement négatif) si \(x\leqslant 0\) (resp.
\(x\lt 0\)).
Quiz 1.3-1 :
(Ordre total sur \(\mathbb{R}\).)
Vrai ou faux?
Si \(x\leqslant y\) et \(a\leqslant b\), alors \(\frac{x}{a}\leqslant \frac{y}{b}\).
Si \(0\lt a\lt b\), alors \(\frac{1}{b}\lt \frac{1}{a}\).
Si \(x\leqslant y\) et \(a\leqslant b\), alors \(ax\leqslant by\).
Si \(x\lt y+\varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\), alors \(x\lt y\).
Si \(x_k\leqslant a\) pour tout \(k=1,2,\dots,n\), alors
\[
\max\{x_1,,\dots,x_n\}\leqslant a\,.
\]
Quiz 1.3-2 :
Vrai ou faux?
Il existe un nombre réel strictement positif plus petit que tous les
autres.
