Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

1.3 Ordre: $\leqslant,\geqslant,\lt,\gt$

La deuxième caractéristique de l'ensemble des nombres réels est que deux réels $x,y$ peuvent toujours être comparés. Si ils sont égaux, $x=y$ , il n'y a pas lieu de les comparer, mais si ils sont distincts, $x\neq y$ , alors il y en a nécessairement un qui est plus petit que l'autre:

Si $x$ est plus petit que $y$ , on note $x\lt y$ .
Si $x$ est plus grand que $y$ , on note $x\gt y$ .

Le fait que l'on puisse ainsi comparer n'importe quelle paire de réels distincts représente ce qu'on appelle un ordre total .

Lorsqu'on veut comparer deux réels sans forcément se préoccuper de savoir s'ils sont distincts:

Si $x$ est plus petit ou égal à $y$ , on note $x\leqslant y$ .
Si $x$ est plus grand ou égal à $y$ , on note $x\geqslant y$ .

Énonçons les propriétés des relations '' $\leqslant, \geqslant, \lt,\gt$ '':

Pour toute paire $x,y\in \mathbb{R}$ , on a soit $x\leqslant y$ , soit $y\leqslant x$ . Si on a à la fois $x\leqslant y$ et $y\leqslant x$ , alors $x=y$ .
$x\leqslant x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ .
Si $x\leqslant y$ et $y\leqslant z$ , alors $x\leqslant z$ .
Si $x\leqslant y$ , alors $x+z\leqslant y+z$ pour tout $z\in \mathbb{R}$ .
Si $0\leqslant x$ et $0\leqslant y$ , alors $0\leqslant x\cdot y$

La troisième propriété est constamment utilisées en analyse. En effet, pour montrer qu'un nombre

x

est plus petit ou égal à un nombre

z

, on passera souvent par l'utilisation d'un réel intermédiaire

y

, et on vérifiera les deux relations ''

x\leqslant y

'', ''

y\leqslant z

'', qui ensemble garantissent que

x\leqslant z

Signe

Un réel $x\in \mathbb{R}$ est dit

positif (resp. strictement positif) si $x\geqslant 0$ (resp. $x\gt 0$ ),
négatif (resp. strictement négatif) si $x\leqslant 0$ (resp. $x\lt 0$ ).

Quiz 1.3-1 : (Ordre total sur

\mathbb{R}

.) Vrai ou faux?

Si $x\leqslant y$ et $a\leqslant b$ , alors $\frac{x}{a}\leqslant \frac{y}{b}$ .
Si $0\lt a\lt b$ , alors $\frac{1}{b}\lt \frac{1}{a}$ .
Si $x\leqslant y$ et $a\leqslant b$ , alors $ax\leqslant by$ .
Si $x\lt y+\varepsilon$ pour tout $\varepsilon\gt 0$ , alors $x\lt y$ .
Si $x_k\leqslant a$ pour tout $k=1,2,\dots,n$ , alors $\max\{x_1,,\dots,x_n\}\leqslant a\,.$

Quiz 1.3-2 : Vrai ou faux?

Il existe un nombre réel strictement positif plus petit que tous les autres.
Tout nombre réel possède un successeur immédiat.

1.3 Ordre: ⩽,⩾,<,>\leqslant,\geqslant,\lt,\gt⩽,⩾,<,>

Signe

1.3 Ordre: $\leqslant,\geqslant,\lt,\gt$