On a vu, dans le chapitre sur les nombres complexes, des méthodes de
factorisation de polynômes.
On y a en particulier factorisé le polynôme réel \(P(x)=x^4+1\).
Comme le discriminant de \(x^2+2x+2\) est négatif, on complète le carré:
\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), et donc
\[\begin{aligned}
\int \frac{x-2}{x^2+2x+2}\,dx&=
\int \frac{x-2}{(x+1)^2+1}\,dx\\
&= \int \frac{t-3}{t^2+1}\,dt\\
&= \int \frac{t}{t^2+1}\,dt-3 \int \frac{1}{t^2+1}\,dt\\
&=\frac12\log(t^2+1)-3\arctan(t)+C\\
&=\frac12\log(x^2+2x+2)-3\arctan(x+1)+C\,.
\end{aligned}\]
La décomposition en éléments simples est
\[
\frac{x-2}{x(x+1)^2}= \frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{x+1} +
\frac{\gamma}{(x+1)^2}\,,\]
où \(\alpha=-2\), \(\beta=2\), \(\gamma=3\).
Ainsi,
\[\begin{aligned}
\int\frac{x-2}{x(x+1)^2}&\,dx \\
=& \int \left(-\frac{2}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}\right)\,dx\\
=&
-2\log|x|+2\log|x+1|-\frac{3}{x+1}+C.
\end{aligned}\]
La décomposition en éléments simples est
\[
\frac{x^3}{\left(1 + x^2\right)^2}= \frac{\alpha x + \beta }{1+x^2} +
\frac{\gamma x + \delta}{\left(1+x^2\right)^2}\,,
\]
avec \(\alpha=1\), \(\beta=0\), \(\gamma=-1\), \(\delta=0\),
d'où
\[\begin{aligned}
\int\frac{x^3}{\left(1+x^2\right)^2}&\,dx \\
=& \int \left(
\frac{x}{1+x^2}+\frac{-x}{\left(1+x^2\right)^2} \right)\,dx\\
=& \frac{1}{2}\log\!\left(1+x^2\right)+\frac{1}{2(1+x^2)} + C.
\end{aligned}\]
La décomposition en éléments simples est
\[
\frac{x^2-2}{x^3-x^2}=\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta }{x ^2}+\frac{\gamma
}{x-1}\,,
\]
avec \(\alpha=2\), \(\beta=2\), \(\gamma=-1\).
On obtient donc
\[\begin{aligned}
\int \frac{x^2-2}{x^3-x^2}&\,dx\\
=&\int\left( \frac{2}{x} + \frac{2}{x ^2} -
\frac{1}{x-1}\right)\,dx\\
=&2\log\!\left(|x|\right) -
\log\!\left(|x-1|\right)-\frac{2}{x} + C.
\end{aligned}\]
La division polynomiale du numérateur par le dénominateur donne
\(p(x)=2x-1\) (sans reste), donc
\[\begin{aligned}
\int\frac{2x^4+7x^3-4x^2-2x+1}{x^3+4x^2-1}\,dx
&=\int(2x-1)\,dx\\
&=x^2-x+C\,.
\end{aligned}\]
La décomposition en éléments simples est
\[
\frac{4x}{x^4- 1}=\frac{\alpha }{x-1} + \frac{\beta}{x+1} + \frac{\gamma x +
\delta}{x^2+1}
\]
avec \(\alpha=1\), \(\beta=1\), \(\gamma=-2\), \(\delta=0\),
d'où
\[\begin{aligned}
\int\frac{4x}{x^4-1}&\,dx\\
=&\int\left(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} -
\frac{2x}{x^2+1}\right)\,dx\\
=&\log\left(\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2+1}\right)+C.
\end{aligned}\]
On a vu
ici que l'on peut
factoriser \(x^4+1\) en un produit de facteurs irréductibles de degré \(2\):
\[ x^4+1=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)\,. \]
Puisque ces deux polynômes de degré \(2\) sont irréductibles (les deux ont
\(\Delta=-2\lt 0\)), on cherche
une décomposition en éléments simples de la forme
\[\begin{aligned}
\frac{1}{x^4+1}
&= \frac{1}{(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)}\\
&=\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}
+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,.
\end{aligned}\].
On trouve:
\[
A=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\,,\quad
B=\frac{1}{2}\,,\quad
C=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,,\quad
D=\frac{1}{2}\,.
\]
Pour l'intégration, on réarrange un peu les termes:
\[\begin{aligned}
\frac{1}{x^4+1}
&=\frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac12}{x^2-\sqrt{2}x+1}
+\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac12}{x^2+\sqrt{2}x+1}\\
&=
-\frac{1}{4\sqrt{2}}\frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}
+\frac14\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\\
&\phantom{=}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}
+\frac14\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\,.
\end{aligned}\]
Or
\[
\int
\frac{2x\mp\sqrt{2}}{x^2\mp\sqrt{2}x+1}\,dx
=\log(x^2\mp\sqrt{2}x+1)+C\,,
\]
et
\[\begin{aligned}
\int\frac{1}{x^2\mp\sqrt{2}x+1}\,dx
&=\int\frac{1}{(x\mp\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac12}\,dx\\
&=2\int \frac{1}{(\sqrt{2}x\mp 1)^2+1}\,dx\\
&=\sqrt{2}\int \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x\mp 1)^2+1}\,dx\\
&=\sqrt{2}\arctan(\sqrt{2}x\mp 1)+C\,.
\end{aligned}\]