La définition générale de fonction injective/bijective se trouve
ici
Dans le cas plus particulier des fonctions réelles, voir
ici.
VRAI.
Soient \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) tels que \(x_1 \lt x_2\). Si \(f\) est
strictement croissante, on a \(f(x_1) \lt f(x_2)\) et si \(f\) est strictement
décroissante, on a
\(f(x_1)\gt f(x_2)\).
Dans les deux cas \(f(x_1)\neq f(x_2)\), c.-à-d. que
\(f\) est injective.
FAUX.
Par exemple, la fonction suivante est injective mais pas monotone:
\[
f(x):=
\begin{cases}
x&\text{ si }x\leqslant -1\\
x+1&\text{ si }-1\lt x\leqslant 0\\
x-1&\text{ si }0\lt x\leqslant 1\\
x&\text{ si }x\gt1\\
\end{cases}
\]
FAUX.
Prendre par exemple \(f(x)=x\), qui est croissante,
pour laquelle \(f^{-1}(x)=x\), qui est aussi croissante.
FAUX.
Prendre par exemple \(f(x)=x\) et \(g(x)=-x\). Alors \((f\circ g)(x)=-x\) est
décroissante mais \(f\) ne l'est pas.