Donner les \(5\) premiers termes (non nuls)
du développement de Taylor de \(f(x)=\sin(x)\)
autour de \(x_0=\frac{\pi}{4}\).
On peut montrer, comme on l'avait fait
ici dans le cas \(x_0=0\),
que le développement de Taylor de \(\sin\) en \(x_0=\frac{\pi}{4}\) est
convergent, pour tout \(x\in \mathbb{R}\).
Ici, il s'agit juste de calculer ses \(5\) premiers termes non-nuls.
On cherche les 5 premiers termes de
\[
\sin(x)
=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(\frac{\pi}{4})}{k!}
(x-\tfrac{\pi}{4})^k\,.
\]
On
sait que
\[
f^{(k)}(x)=\sin(x+k\tfrac{\pi}{2})\,,
\]
et donc
\[
f^{(k)}(\tfrac{\pi}{4})=\sin(\tfrac{\pi}{4}
+k\tfrac{\pi}{2})=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,.
\]
On a donc
\[\begin{aligned}
f(\tfrac{\pi}{4})&=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\quad
f'(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\quad
f^{(2)}(\tfrac{\pi}{4})=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\\
f^{(3)}(\tfrac{\pi}{4})&=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\quad
f^{(4)}(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,\quad
f^{(5)}(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,,
\end{aligned}\]
et donc les \(5\) premiers termes de la série de Taylor sont
\[
\tfrac{1}{\sqrt{2}}
+\tfrac{1}{\sqrt{2}}(x-\tfrac{\pi}{4})
-\tfrac{1}{2!\sqrt{2}}(x-\tfrac{\pi}{4})^2
-\tfrac{1}{3!\sqrt{2}}(x-\tfrac{\pi}{4})^3
+\tfrac{1}{4!\sqrt{2}}(x-\tfrac{\pi}{4})^4
+\tfrac{1}{\sqrt{2}5!}(x-\tfrac{\pi}{4})^5
\]