Analyse 1 MATH-101(c)

Il s'agit ici de calculer les trois premiers termes non-nuls du développement de MacLaurin, pour chacune de ces fonctions Pour 1

\(\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)\), utiliser la série de MacLaurin connue pour chacun des logarithmes.

Pour 2

Utiliser la formule de Taylor (en passant par le calcul des dérivées). Se souvenir de ça.

Pour 3

Utiliser la formule de Taylor (en passant par le calcul des dérivées). La dérivée de \(\arctan\) se trouve ici. Se souvenir de ça.

Pour 4

On peut calculer le développement ''à la main'' à l'aide de la formule de Taylor, mais il est plus simple de voir \(f\) comme une composée de fonctions.

Observons que \[ \log\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)=\log(1-x)-\log(1+x)\,. \] Ainsi, on peut calculer la série complète de Mac-Laurin en additionnant terme par terme les séries trouvées pour \(\log(1\pm x)\): \[\begin{aligned} \log(1-x)-\log(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,(-x)^n -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\,x^n\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1}-(-1)^{n+1}}{n}\,x^n\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{-2}{2k+1} x^{2k+1}\,. \end{aligned}\] Donc les trois premiers termes du développement de MacLaurin sont \[ -2x-\frac23 x^3-\frac{2}{5}x^5\,. \]
Comme \(\tan\) est impaire, on sait que les coefficients d'indices pairs de son développement sont nuls. Pour obtenir trois termes non-nuls, il faut donc aller jusqu'à l'ordre \(5\): \[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{\cos(x)^2}\,,\\ f^{(2)}(x)&=\frac{2\sin(x)}{\cos(x)^3}\,, \\ f^{(3)}(x)&=\frac{2+4\sin(x)^2}{\cos(x)^4}\,,\\ f^{(4)}(x)&=\frac{8\sin(x)\left(2+\sin(x)^2\right)}{\cos(x)^5}\,,\\ f^{(5)}(x)&=\frac{8\left(2+11\sin(x)^2+2\sin(x)^4\right)}{\cos(x)^6}\,. \end{aligned}\] Ceci donne \[\begin{aligned} f(0)&=0, \qquad f'(0)=1, \qquad f^{(2)}(0)=0\, \\ f^{(2)}(0)&=2, \qquad f^{(4)}(0) = 0, \qquad f^{(5)}(0)=16\,. \end{aligned}\] Ainsi, \[\begin{aligned} \tan(x)&=\frac{1}{1!}x+\frac{2}{3!}x^3+\frac{16}{5!}x^5+x^5\varepsilon(x)\\ &=\underbrace{x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}}_{3\text{ prem. termes}} +x^5\varepsilon(x). \end{aligned}\]
Comme \(\arctan\) est impaire, on sait que les coefficients d'indices pairs de son développement sont nuls. Pour obtenir trois termes non-nuls, il faut donc aller jusqu'à l'ordre \(5\): \[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2}\,,\\ f^{(2)}(x)&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\,,\\ f^{(3)}(x)&=\frac{8x^2}{(1+x^2)^3}-\frac{2}{(1+x^2)^2}\,,\\ f^{(4)}(x)&=\frac{-48x^3}{(1+x^2)^4}+\frac{24x}{(1+x^2)^3}\,,\\ f^{(5)}(x)&=\frac{384x^4}{(1+x^2)^5}-\frac{288x^2}{(1+x^2)^4} +\frac{24}{(1+x^2)^3}\,, \end{aligned}\] on trouve \[\begin{aligned} f(0)&=0, \qquad f'(0)=1, \qquad f^{(2)}(0)=0\,,\\ \qquad f^{(3)}(0)&=-2, \qquad f^{(4)}(0)=0, \qquad f^{(5)}(0)=24. \end{aligned}\] Ainsi \[\begin{aligned} \arctan(x) &=\frac{1}{1!}x -\frac{2}{3!}x^3+\frac{24}{5!}x^5 +x^5\varepsilon(x)\\ &=\underbrace{x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}}_{3\text{ prem. termes}} +x^5\varepsilon(x). \end{aligned}\]
On a \(\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac12}\), et pour tout \(\alpha\gt 0\), on a le développement limité \[ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}\,x^2 + \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}\,x^3+ x^3\varepsilon(x) \] avec \(\alpha=\frac{1}{2}\) et \[ \tan(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15} + x^5\varepsilon(x)\,. \] Ainsi \[ \big(1+\tan(x)\big)^{1/2}=1+\frac{1}{2}\tan(x)-\frac{1}{8}\tan(x)^2 +\frac{1}{16}\tan(x)^3+\underbrace{\tan(x)^3 \varepsilon\big(\tan(x)\big)}_{=x^3\varepsilon(x)}, \] Comme \[ \tan(x)^2 =\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15} + x^5\varepsilon(x)\right)^2 = x^2 +x^3\varepsilon(x) \] et \[\begin{aligned} \tan(x)^3 &= \left(x^2+x^3\varepsilon(x)\right)\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15} + x^5\varepsilon(x)\right)\\ &=x^3+x^3\varepsilon(x) \end{aligned}\] on a finalement \[\begin{aligned} \sqrt{1+\tan(x)} &=1+\frac{1}{2}\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3 +x^3\varepsilon(x)\\ &=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{11x^3}{48}+x^3\varepsilon(x)\,. \end{aligned}\]

Exercice 13-01