Soit $f$ une fonction paire, possédant un développement limité d'ordre impair $2n+1$. En soustrayant les expressions $$\begin{aligned} f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n+1}x^{2n+1}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\\ f(-x)&=a_0-a_1x+a_2x^2+\cdots-a_{2n+1}x^{2n+1}-x^{2n+1}\varepsilon(-x)\,, \end{aligned}$$ on obtient $$0=2a_1x+2a_3x^3+\cdots +2a_{2n+1}x^{2n+1}+x^{2n+1} \underbrace{2(\varepsilon(x)+\varepsilon(-x))}_{=\phi(x)}\,.$$ Comme $\phi(x)\to 0$ lorsque $x\to 0$, il faut interpréter cette expression comme le développement limité de la fonction nulle (le ''$0$'' de gauche) autour de zéro. Mais la partie principale de ce développement étant forcément le polynôme nul, l'unicité des coefficients implique que $$a_1=a_3=a_5=\cdots =a_{2n+1}=0\,.$$ Ainsi, la partie principale du développement limité de $f$ ne contient que des puissances paires.

Remarque: on n'a pas utilisé de formule de Taylor.

Le raisonnement pour une fonction impaire est similaire.