Exercice 12-04
Soit \(f\) une fonction paire (resp. impaire)
possédant un \(DL(n)\) autour de \(x_0=0\):
\[
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)\,.
\]
Montrer que tous les coefficients d'indices
impairs (resp. pairs) sont nuls.
On a déjà remarqué une manifestation de ce résultat général
vu
ici, où a calculé
- le \(DL(5)\) du sinus autour de zéro:
\[
\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+R(x)\,.
\]
Sa partie principale ne contient que des puissances impaires (en particulier,
elle ne contient pas de terme constant).
- le \(DL(5)\) du cosinus autour de zéro:
\[
\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+R(x)
\]
Sa partie principale ne contient que des puissances paires.
Pour une fonction paire
On partira du \(DL(n)\)
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n+1}x^{2n+1}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\,,
\]
et on utilisera la condition \(f(x)=f(-x)\) pour en déduire quelque chose sur
les coefficients d'indices impairs.
Soit \(f\) une fonction paire, possédant
un développement limité d'ordre impair \(2n+1\).
En soustrayant les expressions
\[\begin{aligned}
f(x)&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n+1}x^{2n+1}+x^{2n+1}\varepsilon(x)\\
f(-x)&=a_0-a_1x+a_2x^2+\cdots-a_{2n+1}x^{2n+1}-x^{2n+1}\varepsilon(-x)\,,
\end{aligned}\]
on obtient
\[
0=2a_1x+2a_3x^3+\cdots +2a_{2n+1}x^{2n+1}+x^{2n+1}
\underbrace{2(\varepsilon(x)+\varepsilon(-x))}_{=\phi(x)}\,.
\]
Comme \(\phi(x)\to 0\) lorsque \(x\to 0\), il faut interpréter cette expression
comme le développement limité de la fonction nulle (le ''\(0\)'' de gauche)
autour de zéro. Mais la partie principale de ce développement étant
forcément le polynôme nul, l'unicité des coefficients implique que
\[ a_1=a_3=a_5=\cdots =a_{2n+1}=0\,.\]
Ainsi, la partie principale du développement limité de \(f\) ne contient que des
puissances paires.
Remarque: on n'a pas utilisé de formule de Taylor.
Le raisonnement pour une fonction impaire est similaire.