Exercice 09-07
Soient \(I\) un intervalle non-vide, \(f\colon I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue non-constante. Vrai ou faux?
  1. \(\mathrm{Im} (f)\) est un intervalle.
  2. Si \(I\) est borné et fermé, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est borné et fermé.
  3. Si \(I\) est borné, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est borné.
  4. Si \(I\) est ouvert, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est ouvert.
  5. Si \(I=[a,b[\,\) avec \(a,b\in \mathbb{R}\), \(a\lt b\), alors \(f\) atteint son minimum ou son maximum (ou les deux) sur \(I\).
  6. Si \(I=[a,\infty[\,\) avec \(a\in \mathbb{R}\), alors \(f\) atteint son minimum ou son maximum (ou les deux) sur \(I\).
  7. Si \(f\) est strictement croissante et \(I\) est ouvert, alors \(\mathrm{Im} (f)\) est ouvert.
Rappelons qu'un intervalle peut être borné ou pas, et contenir ses extrémités ou pas.

Pour une fonction continue sur un intervalle, on a vu quelques résultats fondamentaux dans le cas où l'intervalle est compact (fermé et borné).
  1. VRAI. Soient \(y_1,y_2\in \mathrm{Im} (f)\) tels que \(y_1\lt y_2\) et soient \(x_1,x_2\in I\) tels que \(y_1=f(x_1)\) et \(y_2=f(x_2)\). Par le théorème de la valeur intermédiaire appliqué à l'intervalle \([\min(x_1,x_2),\max(x_1,x_2)]\), on a \(]y_1,y_2[\:\subset \mathrm{Im} (f)\). Ceci étant vrai pour \(y_1,y_2\in \mathrm{Im} (f)\) quelconques, on déduit que \(\mathrm{Im} (f)\) est un intervalle.
  2. VRAI. Voir cours.
  3. FAUX. Avec \(I=]0,1[\) (qui est borné), prendre par exemple la fonction \(f\colon ]0,1[\:\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=\frac{1}{x}\). Ici, \(\mathrm{Im} (f)=\,]1,\infty[\), qui n'est pas bornée.
  4. FAUX. Prendre par exemple la fonction \(f\colon]-1,1[\:\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=x^2\). Alors \(I=]-1,1[\) est ouvert mais \(\mathrm{Im} (f)=[0,1[\) n'est pas ouvert.
  5. FAUX. Prendre par exemple la fonction \(f\colon[-1,0[\:\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \[ f(x):= e^{-|x|}\sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)\,. \]
  6. FAUX. Prendre par exemple \[ f(x)=(x-a)\sin(x-a)\,. \] Cette fonction n'est ni minorée ni majorée sur \(I\) car pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \[\begin{aligned} f\big(a+\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\big)&=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\gt n\\ f\big(a-\tfrac{\pi}{2} +2\pi n\big)&=\tfrac{\pi}{2}-2\pi n \lt -n \end{aligned}\] Donc elle ne peut pas atteindre son minimum/maximum sur \(I=[a,+\infty[\)
  7. VRAI. Soient \(y\in \mathrm{Im} (f)\) et \(x\in I\) tel que \(f(x)=y\). Comme \(I\) est ouvert, il existe \(r\gt 0\) tel que \(]x-r,x+r[\:\subset I\). Puisque \(f\) est strictement croissante, \[ f\big(x-\tfrac{r}{2}\big)\lt y\lt f\big(x+\tfrac{r}{2}\big)\,. \] Par le théorème de la valeur intermédiaire, appliqué à l'intervalle \(\big[x-\frac{r}{2},x+\frac{r}{2}\big]\), on a \[ \big]f\big(x-\tfrac{r}{2}\big),f\big(x+\tfrac{r}{2}\big)\big[ \subset \mathrm{Im} (f)\,. \] Comme en plus \(y \in \big]f\big(x-\frac{r}{2}\big),f\big(x+\frac{r}{2}\big)\big[\), il suit que \(f(I\)) est ouvert en prenant \[r_y = \min\left\{f\big(x+\tfrac{r}{2}\big)-y,y-f\big(x-\tfrac{r}{2}\big)\right\}\gt 0 \] dans la définition d'ouvert.