Avant de compléter la définition de \(\mathbb{R}\), utilisons les relations d'ordre, \(\leqslant, \lt,\gt,\geqslant\), pour introduire certains sous-ensembles particuliers de \(\mathbb{R}\) appelés intervalles.
Soient \(a,b\in \mathbb{R}\), \(a\lt b\). On définit
les intervalles bornés:
\[\begin{aligned}
[a,b]&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,a\leqslant x\leqslant b\}\,,\\
]a,b[&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,a\lt x\lt b\}\,,\\
[a,b[&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,a\leqslant x\lt b\}\,,\\
]a,b]&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,a\lt x\leqslant b\}\,,
\end{aligned}\]
On dit que \(]a,b[\) est ouvert, et
que \([a,b]\) est fermé.
(On reviendra plus loin sur les notions d'ensemble borné/ouvert/fermé,
qui sont générales et
ne s'appliquent pas uniquement aux intervalles.)
Pour représenter ces intervalles graphiquement, on utilisera une boule pleine
pour indiquer que l'extrémité de l'intervalle est inclue, et vide pour
indiquer que l'extrémité est exclue. Donc on représente \([a,b[\) comme suit:
Ensuite, introduisons les intervalles non-bornés:
\[\begin{aligned} [a,+\infty[&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,x\geqslant a\}\,,\\ ]a,+\infty[&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,x\gt a\}\,,\\ ]-\infty,b]&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,x\leqslant b\}\,,\\ ]-\infty,b[&:= \{x\in \mathbb{R}\,:\,x\lt b\}\,.\\ \end{aligned}\]