Faites les exercices et quiz ci-dessous dans l'ordre. Suggestion: commencer par ne
rien utiliser d'autre qu'une feuille blanche et un crayon!
Je donnerai les solutions complètes des exercices ''ouverts'', et
commenterai les quiz.
À tout moment, vos questions rendront la séance plus interactive!
Entre mes interventions, posez
des questions sur tout ce que vous voulez (cours, exercices, etc.) (utiliser
le CUBE?)
Fonctions
Exercice 1:Solution à 8h30!
Donner un exemple explicite de fonction f:[0,1]→[0,1] qui soit
à la fois injective et surjective
injective mais pas surjective
surjective mais pas injective
ni injective ni surjective
Remarque:
Assurez-vous que chacun de vos exemples
soit bien une fonction, c.à.d.
que chaque f(x) soit bien défini et qu'en
plus
f(x)∈[0,1] pour tout x∈[0,1]!
Exemples: f(x)=x, f(x)=x2, f(x)=x (ou d'autres choses
bien plus compliquées si on le désire).
Pour ne pas être injective, il doit exister au moins un y∈[0,1] qui
ne possède pas de préimage.
Exemples f(x)=2x
Pour que f ne soit pas injective,
il faut qu'il existe au moins deux points distincts
x,x′∈[0,1] tels que f(x)=f(x′).
Exemple: f(x)=4x(1−x) .
Exemple: f(x)=0 (pour tout x∈[0,1])
Exercice 2:Approx. 8h45
Calculer l'ensemble image de la fonction
f:Rx→R↦4x−x2+3.
Si f(x)=4x−x2+3, on cherche tous les y∈R pour lesquels l'équation
y=f(x)
possède au moins une solution. Or cette dernière peut se récrire
x2−4x+(y−3)=0,
et elle possède au moins une solution si et seulement si son discriminant
Δ⩾0. Or
Δ=16−4(y−3)=28−4y,
et donc Δ⩾0 si et seulement si y⩽7. Donc
Im(f)=]−∞,7].
Exercice 3:
Soit f:[0,2]→[0,2] définie par
f(x)={x+12−x si 0⩽x⩽1, si 1<x⩽2.
Expliquer graphiquement pourquoi
cette fonction est injective et surjective (et donc bijective).
Calculer la réciproque f−1, et esquisser son graphe.
Graphiquement:
f−1:[0,2]y→[0,2]↦f−1(y)={2−yy−1 si 0⩽y<1, si 1⩽y⩽2.
Réels R
Quiz :
(2017)
Soit A⊂R un ensemble borné et soit s=supA. Alors pour tout
ε>0, il existe un x∈A tel que x+ε⩾s.
Vrai ou faux?
Comme s est le plus petit majorant, on sait que tout nombre s′<s ne
majore pas A, c'est-à-dire qu'il existe x∈A avec x>s′.
Comme on peut toujours prendre s′ de la forme
s′=s−ε, avec ε>0, cela entraîne bien qu'il existe un
x∈A avec x>s−ε, en particulier x+ε⩾s.
Exercice 4:
Vrai ou faux?
Si ∣x∣⩽ε pour tout ε>0, alors x=0.
C'est vrai. Le seul réel x qui appartient à tous les intervalles
[−ε,+ε], c'est x=0.
Cette remarque a déjà été faite
ici.
Exercice 5:
Soit A=]−1,0[∪]1,2[.
Calculer supA (en justifiant).
Montrons que s=supA=2.
En effet, x⩽2 pour tout x∈A, donc 2 majore A.
Ensuite, montrons que 2 est le plus petit majorant.
Pour ce faire, fixons ε>0 et considérons s′=2−ε.
Si 0<ε<1, alors on peut définir
x=2−2ε∈A, et x>s′, donc
s′ n'est pas un majorant.
Si ε⩾1, alors en prenant x=23, on
a que x>s′.
On conclut que s′ n'est pas un majorant.
Quiz :
(2020)
Soit A⊂R un ensemble contenant une infinité de points.
Si infA∈A et supA∈A, alors A est un
intervalle fermé.
Prendre par exemple A={0}∪[1,2]∪{3}.
Alors A contient une infinité de points,
infA=0∈A et
supA=3∈A, mais A n'est pas un intervalle fermé.
Quiz :
Si D={x∈[0,2π]:2sin(x)<−1}, alors
infD=0
infD=π
infD=67π
infD=23π
infD=−2
(Pour les notions élémentaires de trigonométrie:
ici.)
En résolvant l'inéquation sin(x)<−21 sur [0,2π], on trouve
que D=]67π,611π[, et donc
infD=67π.
Suites
Exercice 6:
Montrer que si une suite an est croissante et an>0 pour tout n,
alors les suites
bn:=−an
et
cn:=an1
sont décroissantes.
Puisque an est croissante, on a que an⩽an+1
pour tout n. Donc en particulier,
bn+1=−an+1⩽−an=bn,
et (ici on utilise le fait que an>0))
cn+1=an+11⩽an1=cn.
Exercice 7:
Soit (an)n⩾1 la suite définie par
xn=7n−115
Montrer que pour tout ε>0, il existe un N∈N tel que
∣xn∣⩽ε∀n⩾N.
Donner une valeur pour N dans le cas où
ε=0.000137.
Fixons ε>0. On a ∣xn∣⩽ε si et seulement si 7n−115⩽ε⇔∣7n−11∣5⩽ε.
Remarquons que si n⩾2, alors 7n−11>0 et donc cette dernière
devient
7n−115⩽ε⇔n⩾71(ε5+11)
Donc si N est un entier plus grand que 2et
plus grand que 71(ε5+11),
par exemple
N=max{2,71(ε5+11)},
on assure que
∣xn∣⩽ε pour tout n⩾N.
Si ε=0.000137, alors
71(ε5+11)=5215.335….
On peut donc par exemple prendre N=5216.
Exercice 8:
Soit (an)n⩾2 la suite définie par
an=n2−1n.
Montrer, en utilisant uniquement la définition de limite, que an→0.
Extras
Exercice 9: Vrai ou faux?
Une bijection f:[0,1]→[0,1] est soit croissante, soit décroissante.
C'est faux.
La fonction (voir exercice plus haut)
f(x)={x+12−x si 0⩽x⩽1, si 1<x⩽2.
est une bijection, mais elle n'est
ni croissante (puisque f(0)>f(2))
ni décroissante (puisque f(0)<f(1)).
Quiz :
(2018)
Soit A={x∈R+∗:cos(x1)>0}. Alors
supA=0
supA=2π
infA=0
infA=π2
Exercice 10:
(Optionnel)
Un rationnel r est dit dyadique s'il peut s'écrire sous la forme
r=2km, où m∈Z, k∈N.
Montrer que l'ensemble des rationnels dyadiques est dense dans R.