Remarque:

• Assurez-vous que chacun de vos exemples soit bien une fonction, c.à.d. que chaque \(f(x)\) soit bien défini et qu'en plus \(f(x)\in [0,1]\) pour tout \(x\in [0,1]\)!

1. Exemples: \(f(x)=x\), \(f(x)=x^2\), \(f(x)=\sqrt{x}\) (ou d'autres choses bien plus compliquées si on le désire).
2. Pour ne pas être injective, il doit exister au moins un \(y\in [0,1]\) qui ne possède pas de préimage. Exemples \(f(x)=\frac{x}{2}\)
3. Pour que \(f\) ne soit pas injective, il faut qu'il existe au moins deux points distincts \(x,x'\in[0,1]\) tels que \(f(x)=f(x')\). Exemple: \(f(x)=4x(1-x)\) .
4. Exemple: \(f(x)=0\) (pour tout \(x\in[0,1]\))

Si \(f(x)=4x-x^2+3\), on cherche tous les \(y\in \mathbb{R}\) pour lesquels l'équation \[ y=f(x) \] possède au moins une solution. Or cette dernière peut se récrire \[ x^2-4x+(y-3)=0\,, \] et elle possède au moins une solution si et seulement si son discriminant \(\Delta\geqslant 0\). Or \[ \Delta=16-4(y-3)=28-4y\,, \] et donc \(\Delta\geqslant 0\) si et seulement si \(y\leqslant 7\). Donc \[ \mathrm{Im} (f)=]-\infty,7]\,. \]

• Graphiquement:
• \[\begin{aligned} f^{-1}:[0,2]&\to [0,2]\\ y&\mapsto f^{-1}(y)= \begin{cases} 2-y&\text{ si }0\leqslant y\lt 1\,,\\ y-1&\text{ si }1\leqslant y\leqslant 2\,.\\ \end{cases} \end{aligned}\]

Comme \(s\) est le plus petit majorant, on sait que tout nombre \(s'\lt s\) ne majore pas \(A\), c'est-à-dire qu'il existe \(x\in A\) avec \(x\gt s'\). Comme on peut toujours prendre \(s'\) de la forme \(s'=s-\varepsilon\), avec \(\varepsilon\gt 0\), cela entraîne bien qu'il existe un \(x\in A\) avec \(x\gt s-\varepsilon\), en particulier \(x+\varepsilon\geqslant s\).

C'est vrai. Le seul réel \(x\) qui appartient à tous les intervalles \([-\varepsilon,+\varepsilon]\), c'est \(x=0\). Cette remarque a déjà été faite ici.

Montrons que \(s=\sup A=2\).
En effet, \(x\leqslant 2\) pour tout \(x\in A\), donc \(2\) majore \(A\).
Ensuite, montrons que \(2\) est le plus petit majorant. Pour ce faire, fixons \(\varepsilon\gt 0\) et considérons \(s'=2-\varepsilon\).

• Si \(0\lt \varepsilon\lt 1\), alors on peut définir \(\widetilde{x}=2-\frac{\varepsilon}{2}\in A\), et \(\widetilde{x}\gt s'\), donc \(s'\) n'est pas un majorant.
• Si \(\varepsilon\geqslant 1\), alors en prenant \(\widetilde{x}=\frac{3}{2}\), on a que \(\widetilde{x}\gt s'\).

Prendre par exemple \(A=\{0\}\cup [1,2]\cup \{3\}\). Alors \(A\) contient une infinité de points, \(\inf A=0\in A\) et \(\sup A=3\in A\), mais \(A\) n'est pas un intervalle fermé.

(Pour les notions élémentaires de trigonométrie: ici.) En résolvant l'inéquation \(\sin(x)\lt -\frac12\) sur \([0,2\pi]\), on trouve que \(D=]\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}[\), et donc \(\inf D=\frac{7\pi}{6}\).

Puisque \(a_n\) est croissante, on a que \(a_n\leqslant a_{n+1}\) pour tout \(n\). Donc en particulier, \[ b_{n+1}=-a_{n+1}\leqslant -a_n=b_n\,, \] et (ici on utilise le fait que \(a_n\gt 0\))) \[ c_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}\leqslant \frac{1}{a_n}=c_n\,. \]

Fixons \(\varepsilon\gt 0\). On a \(|x_n|\leqslant \varepsilon\) si et seulement si \[ \left| \frac{5}{7n-11} \right|\leqslant \varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad \frac{5}{|7n-11|}\leqslant\varepsilon\,. \] Remarquons que si \(n\geqslant 2\), alors \(7n-11\gt 0\) et donc cette dernière devient \[ \frac{5}{7n-11}\leqslant\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n\geqslant \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) \] Donc si \(N\) est un entier plus grand que \(2\) et plus grand que \(\frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right)\), par exemple \[ N=\max\left\{ 2, \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) \right\}\,, \] on assure que \(|x_n|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).

Si \(\varepsilon=0.000137\), alors \[ \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) =5215.335\dots\,. \] On peut donc par exemple prendre \(N=5216\).

C'est faux. La fonction (voir exercice plus haut) \[ f(x)= \begin{cases} x+1&\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,,\\ 2-x&\text{ si }1\lt x\leqslant 2\,. \end{cases} \] est une bijection, mais elle n'est ni croissante (puisque \(f(0)\gt f(2)\)) ni décroissante (puisque \(f(0)\lt f(1)\)).