Remarque:

• Assurez-vous que chacun de vos exemples soit bien une fonction, c.à.d. que chaque $f(x)$ soit bien défini et qu'en plus $f(x)\in [0,1]$ pour tout $x\in [0,1]$!

1. Exemples: $f(x)=x$, $f(x)=x^2$, $f(x)=\sqrt{x}$ (ou d'autres choses bien plus compliquées si on le désire).
2. Pour ne pas être injective, il doit exister au moins un $y\in [0,1]$ qui ne possède pas de préimage. Exemples $f(x)=\frac{x}{2}$
3. Pour que $f$ ne soit pas injective, il faut qu'il existe au moins deux points distincts $x,x'\in[0,1]$ tels que $f(x)=f(x')$. Exemple: $f(x)=4x(1-x)$ .
4. Exemple: $f(x)=0$ (pour tout $x\in[0,1]$)

Si $f(x)=4x-x^2+3$, on cherche tous les $y\in \mathbb{R}$ pour lesquels l'équation $$y=f(x)$$ possède au moins une solution. Or cette dernière peut se récrire $$x^2-4x+(y-3)=0\,,$$ et elle possède au moins une solution si et seulement si son discriminant $\Delta\geqslant 0$. Or $$\Delta=16-4(y-3)=28-4y\,,$$ et donc $\Delta\geqslant 0$ si et seulement si $y\leqslant 7$. Donc $$\mathrm{Im} (f)=]-\infty,7]\,.$$

• Graphiquement:
• $$\begin{aligned} f^{-1}:[0,2]&\to [0,2]\\ y&\mapsto f^{-1}(y)= \begin{cases} 2-y&\text{ si }0\leqslant y\lt 1\,,\\ y-1&\text{ si }1\leqslant y\leqslant 2\,.\\ \end{cases} \end{aligned}$$

Comme $s$ est le plus petit majorant, on sait que tout nombre $s'\lt s$ ne majore pas $A$, c'est-à-dire qu'il existe $x\in A$ avec $x\gt s'$. Comme on peut toujours prendre $s'$ de la forme $s'=s-\varepsilon$, avec $\varepsilon\gt 0$, cela entraîne bien qu'il existe un $x\in A$ avec $x\gt s-\varepsilon$, en particulier $x+\varepsilon\geqslant s$.

C'est vrai. Le seul réel $x$ qui appartient à tous les intervalles $[-\varepsilon,+\varepsilon]$, c'est $x=0$. Cette remarque a déjà été faite ici.

Montrons que $s=\sup A=2$.
En effet, $x\leqslant 2$ pour tout $x\in A$, donc $2$ majore $A$.
Ensuite, montrons que $2$ est le plus petit majorant. Pour ce faire, fixons $\varepsilon\gt 0$ et considérons $s'=2-\varepsilon$.

• Si $0\lt \varepsilon\lt 1$, alors on peut définir $\widetilde{x}=2-\frac{\varepsilon}{2}\in A$, et $\widetilde{x}\gt s'$, donc $s'$ n'est pas un majorant.
• Si $\varepsilon\geqslant 1$, alors en prenant $\widetilde{x}=\frac{3}{2}$, on a que $\widetilde{x}\gt s'$.

Prendre par exemple $A=\{0\}\cup [1,2]\cup \{3\}$. Alors $A$ contient une infinité de points, $\inf A=0\in A$ et $\sup A=3\in A$, mais $A$ n'est pas un intervalle fermé.

(Pour les notions élémentaires de trigonométrie: ici.) En résolvant l'inéquation $\sin(x)\lt -\frac12$ sur $[0,2\pi]$, on trouve que $D=]\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}[$, et donc $\inf D=\frac{7\pi}{6}$.

Puisque $a_n$ est croissante, on a que $a_n\leqslant a_{n+1}$ pour tout $n$. Donc en particulier, $$b_{n+1}=-a_{n+1}\leqslant -a_n=b_n\,,$$ et (ici on utilise le fait que $a_n\gt 0$)) $$c_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}\leqslant \frac{1}{a_n}=c_n\,.$$

Fixons $\varepsilon\gt 0$. On a $|x_n|\leqslant \varepsilon$ si et seulement si $$\left| \frac{5}{7n-11} \right|\leqslant \varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad \frac{5}{|7n-11|}\leqslant\varepsilon\,.$$ Remarquons que si $n\geqslant 2$, alors $7n-11\gt 0$ et donc cette dernière devient $$\frac{5}{7n-11}\leqslant\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n\geqslant \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right)$$ Donc si $N$ est un entier plus grand que $2$ et plus grand que $\frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right)$, par exemple $$N=\max\left\{ 2, \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) \right\}\,,$$ on assure que $|x_n|\leqslant \varepsilon$ pour tout $n\geqslant N$.

Si $\varepsilon=0.000137$, alors $$\frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) =5215.335\dots\,.$$ On peut donc par exemple prendre $N=5216$.

C'est faux. La fonction (voir exercice plus haut) $$f(x)= \begin{cases} x+1&\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,,\\ 2-x&\text{ si }1\lt x\leqslant 2\,. \end{cases}$$ est une bijection, mais elle n'est ni croissante (puisque $f(0)\gt f(2)$) ni décroissante (puisque $f(0)\lt f(1)$).