Séance Contact 02, Lundi 23 sept

Communications:
Speakup pour la séance d'aujourd'hui:
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Aujourd'hui:
Fonctions

Exercice 1: Solution à 8h30! Donner un exemple explicite de fonction f:[0,1][0,1]f:[0,1]\to[0,1] qui soit
  1. à la fois injective et surjective
  2. injective mais pas surjective
  3. surjective mais pas injective
  4. ni injective ni surjective

Remarque:

  1. Exemples: f(x)=xf(x)=x, f(x)=x2f(x)=x^2, f(x)=xf(x)=\sqrt{x} (ou d'autres choses bien plus compliquées si on le désire).
  2. Pour ne pas être injective, il doit exister au moins un y[0,1]y\in [0,1] qui ne possède pas de préimage. Exemples f(x)=x2f(x)=\frac{x}{2}
  3. Pour que ff ne soit pas injective, il faut qu'il existe au moins deux points distincts x,x[0,1]x,x'\in[0,1] tels que f(x)=f(x)f(x)=f(x'). Exemple: f(x)=4x(1x)f(x)=4x(1-x) .
  4. Exemple: f(x)=0f(x)=0 (pour tout x[0,1]x\in[0,1])


Exercice 2: Approx. 8h45 Calculer l'ensemble image de la fonction f:RRx4xx2+3.\begin{aligned} f:\mathbb{R}&\to \mathbb{R}\\ x&\mapsto 4x-x^2+3\,. \end{aligned}

Si f(x)=4xx2+3f(x)=4x-x^2+3, on cherche tous les yRy\in \mathbb{R} pour lesquels l'équation y=f(x) y=f(x) possède au moins une solution. Or cette dernière peut se récrire x24x+(y3)=0, x^2-4x+(y-3)=0\,, et elle possède au moins une solution si et seulement si son discriminant Δ0\Delta\geqslant 0. Or Δ=164(y3)=284y, \Delta=16-4(y-3)=28-4y\,, et donc Δ0\Delta\geqslant 0 si et seulement si y7y\leqslant 7. Donc Im(f)=],7]. \mathrm{Im} (f)=]-\infty,7]\,.


Exercice 3: Soit f:[0,2][0,2]f:[0,2]\to [0,2] définie par f(x)={x+1 si 0x1,2x si 1<x2. f(x)= \begin{cases} x+1&\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,,\\ 2-x&\text{ si }1\lt x\leqslant 2\,. \end{cases}

Réels R\mathbb{R}
Quiz : (2017) Soit ARA\subset \mathbb{R} un ensemble borné et soit s=supAs=\sup A. Alors pour tout ε>0\varepsilon \gt 0, il existe un xAx\in A tel que x+εsx+\varepsilon \geqslant s. Vrai ou faux?
  1. VRAI
  2. FAUX

Comme ss est le plus petit majorant, on sait que tout nombre s<ss'\lt s ne majore pas AA, c'est-à-dire qu'il existe xAx\in A avec x>sx\gt s'. Comme on peut toujours prendre ss' de la forme s=sεs'=s-\varepsilon, avec ε>0\varepsilon\gt 0, cela entraîne bien qu'il existe un xAx\in A avec x>sεx\gt s-\varepsilon, en particulier x+εsx+\varepsilon\geqslant s.


Exercice 4: Vrai ou faux? Si xε|x|\leqslant \varepsilon pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, alors x=0x=0.

C'est vrai. Le seul réel xx qui appartient à tous les intervalles [ε,+ε][-\varepsilon,+\varepsilon], c'est x=0x=0. Cette remarque a déjà été faite ici.


Exercice 5: Soit A=]1,0[]1,2[A=]-1,0[\cup ]1,2[. Calculer supA\sup A (en justifiant).

Montrons que s=supA=2s=\sup A=2.
En effet, x2x\leqslant 2 pour tout xAx\in A, donc 22 majore AA.
Ensuite, montrons que 22 est le plus petit majorant. Pour ce faire, fixons ε>0\varepsilon\gt 0 et considérons s=2εs'=2-\varepsilon.

On conclut que ss' n'est pas un majorant.

Quiz : (2020) Soit ARA\subset \mathbb{R} un ensemble contenant une infinité de points. Si infAA\inf A\in A et supAA\sup A\in A, alors AA est un intervalle fermé.
  1. VRAI
  2. FAUX

Prendre par exemple A={0}[1,2]{3}A=\{0\}\cup [1,2]\cup \{3\}. Alors AA contient une infinité de points, infA=0A\inf A=0\in A et supA=3A\sup A=3\in A, mais AA n'est pas un intervalle fermé.

Quiz : Si D={x[0,2π]:2sin(x)<1}D=\{x\in [0,2\pi]\,:\,2\sin(x)\lt -1\}, alors
  1. infD=0\inf D=0
  2. infD=π\inf D=\pi
  3. infD=7π6\inf D=\frac{7\pi}{6}
  4. infD=3π2\inf D=\frac{3\pi}{2}
  5. infD=2\inf D=-2

(Pour les notions élémentaires de trigonométrie: ici.) En résolvant l'inéquation sin(x)<12\sin(x)\lt -\frac12 sur [0,2π][0,2\pi], on trouve que D=]7π6,11π6[D=]\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}[, et donc infD=7π6\inf D=\frac{7\pi}{6}.

Suites

Exercice 6: Montrer que si une suite ana_n est croissante et an>0a_n\gt 0 pour tout nn, alors les suites bn:=anb_n:= -a_n et cn:=1anc_n:= \frac{1}{a_n} sont décroissantes.

Puisque ana_n est croissante, on a que anan+1a_n\leqslant a_{n+1} pour tout nn. Donc en particulier, bn+1=an+1an=bn, b_{n+1}=-a_{n+1}\leqslant -a_n=b_n\,, et (ici on utilise le fait que an>0a_n\gt 0)) cn+1=1an+11an=cn. c_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}\leqslant \frac{1}{a_n}=c_n\,.


Exercice 7: Soit (an)n1(a_n)_{n\geqslant 1} la suite définie par xn=57n11 x_n=\frac{5}{7n-11} Montrer que pour tout ε>0\varepsilon\gt 0, il existe un NNN\in\mathbb{N} tel que xnεnN. |x_n|\leqslant \varepsilon\qquad \forall n \geqslant N\,. Donner une valeur pour NN dans le cas où ε=0.000137\varepsilon=0.000137.

Fixons ε>0\varepsilon\gt 0. On a xnε|x_n|\leqslant \varepsilon si et seulement si 57n11ε57n11ε. \left| \frac{5}{7n-11} \right|\leqslant \varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad \frac{5}{|7n-11|}\leqslant\varepsilon\,. Remarquons que si n2n\geqslant 2, alors 7n11>07n-11\gt 0 et donc cette dernière devient 57n11εn17(5ε+11) \frac{5}{7n-11}\leqslant\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n\geqslant \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) Donc si NN est un entier plus grand que 22 et plus grand que 17(5ε+11)\frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right), par exemple N=max{2,17(5ε+11)}, N=\max\left\{ 2, \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) \right\}\,, on assure que xnε|x_n|\leqslant \varepsilon pour tout nNn\geqslant N.

Si ε=0.000137\varepsilon=0.000137, alors 17(5ε+11)=5215.335. \frac17\left(\frac{5}{\varepsilon}+11\right) =5215.335\dots\,. On peut donc par exemple prendre N=5216N=5216.


Exercice 8: Soit (an)n2(a_n)_{n\geqslant 2} la suite définie par an=nn21. a_n=\frac{n}{n^2-1}\,. Montrer, en utilisant uniquement la définition de limite, que an0a_n\to 0.
Extras

Exercice 9: Vrai ou faux? Une bijection f:[0,1][0,1]f:[0,1]\to [0,1] est soit croissante, soit décroissante.

C'est faux. La fonction (voir exercice plus haut) f(x)={x+1 si 0x1,2x si 1<x2. f(x)= \begin{cases} x+1&\text{ si }0\leqslant x\leqslant 1\,,\\ 2-x&\text{ si }1\lt x\leqslant 2\,. \end{cases} est une bijection, mais elle n'est ni croissante (puisque f(0)>f(2)f(0)\gt f(2)) ni décroissante (puisque f(0)<f(1)f(0)\lt f(1)).

Quiz : (2018) Soit A={xR+:cos(1x)>0}\displaystyle A=\left\{x\in\mathbb{R}_+^*\,:\,\cos\left(\frac{1}{x}\right)\gt 0\right\}. Alors
  1. supA=0\sup A=0
  2. supA=π2\sup A=\frac{\pi}{2}
  3. infA=0\inf A=0
  4. infA=2π\inf A=\frac{2}{\pi}



Exercice 10: (Optionnel) Un rationnel rr est dit dyadique s'il peut s'écrire sous la forme r=m2kr=\frac{m}{2^k}, où mZm\in \mathbb{Z}, kNk\in \mathbb{N}. Montrer que l'ensemble des rationnels dyadiques est dense dans R\mathbb{R}.