1.5 Valeur absolue et distance
La valeur absolue de \(x\in \mathbb{R}\) est définie par \[ |x|:= \begin{cases} x&\text{ si }x\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }x=0\,,\\ -x&\text{ si }x\lt 0\,. \end{cases} \]

Exemple: Puisque \(-3\) est négatif, on a \(|-3|=-(-3)=+3\).

Les propriétés suivantes suivent de la définition:

  1. \(|-x|=|x|\geqslant 0\)
  2. \(|x|=0\) si et seulement si \(x=0\)
  3. \(-|x|\leqslant x\leqslant |x|\)
  4. Si \(a\geqslant 0\), alors \(|x|\leqslant a\) si et seulement si \(-a\leqslant x\leqslant +a\).
  5. \(|x\cdot y|= |x|\cdot |y|\)
  6. Si \(y\neq 0\), \(|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}\).
  7. Si on divise un réel non-nul \(x\) par sa valeur absolue, on obtient son signe: \[ \frac{x}{|x|}= \begin{cases} +1&\text{ si }x>0\,,\\ -1&\text{ si }x<0\,. \end{cases} \]
(Inégalité triangulaire) Pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\), \[|x+y|\leqslant |x|+|y|\,.\]

Si \(x+y\geqslant 0\), alors \[ |x+y|=x+y\leqslant |x|+|y|\,. \] Si \(x+y< 0\), alors \[ |x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)\leqslant |x|+|y|\,. \]

L'inégalité triangulaire sera utilisée très souvent lorsqu'on aura besoin de montrer qu'une somme de petits nombres est aussi petite. Plus précisément, considérons la somme de deux nombres \(x\) et \(y\), que l'on sait être ''petits'' dans le sens où on a trouvé un \(\varepsilon>0\) tel que \(|x|\leqslant \varepsilon\) et \(|y|\leqslant \varepsilon\). (Remarquons que ceci n'implique rien sur les signes des nombres \(x\) et \(y\).) Alors, l'inégalité triangulaire permet de garantir que \[ |x+y|\leqslant |x|+|y|\leqslant \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon\,. \]

Remarque: On peut utiliser la valeur absolue pour caractériser le nombre ''zéro'': c'est l'unique nombre dont la valeur absolue est plus petite que tout nombre positif: \[ x=0\Longleftrightarrow |x|=0 \Longleftrightarrow |x|\leqslant \varepsilon\quad \forall \varepsilon\gt 0\,. \]

Distance

La valeur absolue permet de mesurer la proximité de deux réels \(x,y,\in \mathbb{R}\), en définissant leur distance: \[ \mathrm{dist}(x,y):= |x-y|\,. \]

Lemme: (Propriétés de la distance)

  1. \(d(x,y)\geqslant 0\) pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\). De plus, \(d(x,y)=0\) si et seulement si \(x=y\).
  2. \(d(x,y)=d(y,x)\) pour tous \(x,y\in \mathbb{R}\)
  3. Pour tous \(x,y,z\in \mathbb{R}\), \[ \mathrm{dist}(x,y)\leqslant \mathrm{dist}(x,z)+\mathrm{dist}(z,y)\,. \]

Les deux premières affirmations suivent directement des propriétés de la valeur absolue. Pour la troisième, on insère \(-z+z=0\), et on utilise l'inégalité triangulaire: \[\begin{aligned} \mathrm{dist}(x,y)=|x-y|&=|(x-z)+(z-y)|\\ &\leqslant |x-z|+|z-y|\\ &=\mathrm{dist}(x,z)+\mathrm{dist}(z,y)\,. \end{aligned}\]

On utilisera souvent les équivalences suivantes: \[\begin{aligned} \mathrm{dist}(x,a)\leqslant \varepsilon \quad &\Longleftrightarrow \quad |x-a|\leqslant \varepsilon \quad\\ &\Longleftrightarrow \quad a-\varepsilon\leqslant x\leqslant a+\varepsilon\\ \quad &\Longleftrightarrow \quad x\in [a-\varepsilon,a+\varepsilon] \end{aligned}\]

Quiz 1.5-1 : Soit \(a\gt 0\).
  1. Si \(x\leqslant a\), alors \(|x|\leqslant a\).
  2. Si \(x\gt a\), alors \(|x|\gt a\).
  3. Si \(|x|\leqslant a\), alors soit \(x=a\), soit \(-a\lt x\lt a\).
Quiz 1.5-2 : Vrai ou faux?
  1. Si \(\mathrm{dist}(x,y)\gt 0\), alors \(x\neq y\).
  2. Si \(x\geqslant a\) et \(|y|\leqslant a/2\), alors \(x+y\geqslant a/2\).
  3. Si \(x\lt y\), alors \(\mathrm{dist}(x,y)\lt 0\).
  4. Si \(x\lt z\lt y\), alors \(\mathrm{dist}(x,z)\lt \mathrm{dist}(z,y)\).
  5. Si \(y=x/2\), alors \(\mathrm{dist}(x,y)=\frac{x}{2}\).
  6. Si \(\mathrm{dist}(x,y)=\alpha\) et \(\mathrm{dist}(y,z)=\beta\), alors \(\mathrm{dist}(x,z)=\alpha+\beta\).
  7. Si \(x\lt z\lt y\), alors \(\mathrm{dist}(x,y)^2\leqslant \mathrm{dist}(x,z)^2+\mathrm{dist}(z,y)^2\).
  8. ⚡ Si \(\mathrm{dist}(x,y)\leqslant \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon\gt 0\), alors \(x=y\).
Quiz 1.5-3 : Vrai ou faux?
  1. Si \(x\gt 0\), alors \(|\sin(x)|=\sin(x)\).
  2. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(|x^2+x+1|=x^2+x+1\).
  3. \(|\cos(8)|=\cos(8)\).

Dernière compilation: 2024-10-05 (22:34:27)

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