Exercice 03-05
Soit \((x_n)_{n\geqslant 1}\) la suite définie ainsi:
\[x_1=0.9\,,\quad x_2=0.99\,,\quad x_3=0.999\,,\quad x_4=0.9999\,,\qquad
\text{etc.}\]
Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} x_n= 1\).
Le but de cet exercice est de faire comprendre que
\[
0.99999\ldots=1\,.
\]
Pour commencer,
étudier la différence \(|x_n-1|\), par exemple en écrivant ce qu'elle vaut pour
les premiers indices \(n=1,2,3,\dots\)
Ensuite,
une fois qu'on a explicitement la dépendance de \(|x_n-1|\) en fonction de
\(n\), on peut fixer un \(\varepsilon\gt 0\), et trouver par le calcul un \(N\) tel
que \(|x_n-1|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
On aimerait montrer que pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe \(N\) tel que
\[ |x_n-1|\leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
Commençons par remarquer que
\[\begin{aligned}
|x_1-1|&=0.1=10^{-1}\\
|x_2-1|&=0.01=10^{-2}\\
\vdots&\\
|x_n-1|&=0.000\dots 01=10^{-n}\\
\vdots&
\end{aligned}\]
Maintenant si on fixe un \(\varepsilon>0\) petit,
on a
\[ 10^{-n}\leqslant \varepsilon
\Longleftrightarrow
-n\leqslant \log_{10}(\varepsilon)
\Longleftrightarrow
n\geqslant -\log_{10}(\varepsilon)
\]
(Voir
ici pour un rappel sur le
logarithme.)
Donc en définissant \(N:= \lfloor-\log_{10}(\varepsilon)\rfloor+1\), on a bien
que \(|x_n-1|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).