Fixons un nombre \(a\gt 0\), différent de \(1\), que l'on appelle base.

Si \(n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}\), on définit \[ a^n:= \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ fois}} \] Cette notation compacte pour un produit a la propriété fondamentale suivante: pour toute paire \(m,n\in\mathbb{N}^*\), \[\begin{aligned} a^{m+n}&=a^ma^n\,. \end{aligned}\] Cette propriété peut être utilisée comme fil conducteur pour étendre progressivement la fonction \(n\mapsto a^n\) à des valeurs de \(n\) plus générales.

Pour commencer, voyons comment doit être défini ''\(a^0\)'' si on impose que la propriété soit vérifiée aussi pour \(n=0\). On peut alors écrire \[ a=a^1=a^{0+1}=a^0a^1=a^0a\,, \] et comme \(a\gt 0\), on en déduit que \[ a^0=1\,. \]

Si on souhaite ensuite définir ''\(a^n\)'' pour des entiers négatifs, en imposant encore que la propriété soit vérifiée, on peut écrire, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[ 1=a^0=a^{n+(-n)}=a^na^{-n}\,, \] d'où on tire \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\,. \] On a maintenant une fonction, \[\begin{aligned} \exp_a: \mathbb{Z}&\to \mathbb{R}_+^*\\ n&\mapsto \exp_a(n)=a^n \end{aligned}\]

La fonction exponentielle de base \(a\) est une généralisation de cette notion, où l'entier \(n\) peut être remplacée par un réel \(x\) quelconque: \[\begin{aligned} \exp_a:\mathbb{R}&\to \mathbb{R}^*_+\\ x&\mapsto \exp_a(x)\,, \end{aligned}\] que l'on note souvent ''\(a^x\)'' au lieu de ''\(\exp_a(x)\)''. Cette généralisation est faite de façon à ce que la propriété fondamentale soit préservée: \[ a^{x+y}=a^xa^y\,,\qquad \forall x,y\in\mathbb{R}\,. \] De plus, cette fonction est bijective:

Remarquons que \(a^x\) est croissante si \(a\gt 1\), décroissante si \(0\lt a \lt 1\).

Étant bijective, la fonction exponentielle de base \(a\) possède une réciproque, appelée logarithme de base \(a\): \[\begin{aligned} \log_a:\mathbb{R}_+^*&\to\mathbb{R}\\ x&\mapsto \log_a(x)\,. \end{aligned}\] Par définition, \[\begin{aligned} \log_a(\exp_a(x))&=x\qquad \forall x\in\mathbb{R}\,,\\ \exp_a(\log_a(y))&=y\qquad \forall y\in\mathbb{R}_+^*\,.\\ \end{aligned}\] Sa propriété fondamentale est la suivante: pour tous \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\), \[ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\,. \]

Remarquons que \(\log_a(1)=0\), et que \(\log_a\) est croissante si \(a\gt 1\), décroissante si \(0\lt a \lt 1\).

Si on connaît \(\log_b(x)\), comment calculer \(\log_a(x)\)?

Nommons ces nombres:

• \(y_1=\log_a(x)\), qui est équivalent à \(x=a^{y_1}\)
• \(y_2=\log_b(x)\), qui est équivalent à \(x=b^{y_2}\)

On a alors \[ a^{y_1}=b^{y_2}\,, \] et en prenant \(\log_b(\cdot)\) des deux côtés, \[ y_2=y_1\log_b(a)\,. \] On a donc la formule de changement de base: \[ \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\,. \] Cette formule fait qu'il suffit en général de choisir une base et de travailler avec; les logarithmes dans d'autres bases peuvent être obtenus à l'aide de cette formule.

Il existe une base pour laquelle les fonctions exponentielles et logarithme possèdent des propriétés supplémentaires, qui les rendent plus faciles à manipuler. La base en question est notée ''\(e\)'', où \[ e= 2.7182818284 5904523536 0287471352 662497\dots \] Pour nous, ce nombre sera défini par la limite suivante (nous y reviendrons ici): \[ e=\lim_{n\to \infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\,. \] Les exponentielles et logarithmes dans la base \(e\) sont généralement notés comme suit: \[\begin{aligned} \exp_e(x)&\equiv \exp(x)=e^x\,,\\ \log_e(x)&\equiv \log(x)\,. \end{aligned}\] Le logarithme \(\log(x)\) est appelé logarithme naturel (ou népérien). On trouve souvent la notation ''\(\mathrm{ln}(x)\)'', que nous n'utiliserons pas ici.

Pour plus de détails historiques consulter l'article Histoire des logarithmes et des exponentielles (Wikipedia).