Déterminer, parmi les suites ci-dessous, celles qui sont bornées.
Lorsqu'une
suite est bornée, on donnera une sous-suite convergente, ainsi que la valeur de
sa limite.
- \(a_n=(-1)^n\)
- \(a_n=(-1)^{n^2-n}\)
- \(a_n=(1+(-1)^n)^n\)
- \(a_n=\sin(n\frac{\pi}{3})+\cos(n\frac{\pi}{2})\)
Le
Théorème de Bolzano-Weierstrass
affirme que toute suite bornée possède une sous-suite convergente.
En général, cette sous-suite n'est pas exprimable explicitement.
Dans cet exercice, lorsque le théorème s'applique, on
se propose de trouver explicitement une sous-suite convergente.
Remarque:
Lorsqu'une suite \((a_n)_n\) possède une
sous-suite \((a_{n_k})_k\)
convergente, alors elle en possède une infinité.
En effet, toute sous-suite de \((a_{n_k})_k\) sera aussi une sous-suite de
\((a_n)_n\), et sera aussi convergente.