3.12 Le Théorème de Bolzano-Weierstrass

Le Théorème de Bolzano-Weierstrass

\(\bigstar\) Supposons qu'à l'aide d'un crayon noir, on place une infinité de points dans un intervalle \([-C,C]\). Les points sont placés les uns après les autres, et peuvent être choisis de façon tout à fait arbitraire. Et bien il existe forcément un point de l'intervalle proche duquel vont s'accumuler une infinité de points noirs.

Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite, et \(0\leqslant n_0\lt n_1\lt n_2\lt \dots\) une suite d'entiers, strictement croissante. Alors \((a_{n_k})_{k\geqslant 0}\) est une sous-suite de \((a_n)_{n\geqslant 0}\).

Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[ a_n=\sin(n\tfrac{\pi}{4})\,. \] Entre \(n=0\) et \(n=8\), cette suite prend les valeurs \[0,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1, -\frac{\sqrt{2}}{2},0\,.\] Ensuite, la périodicité de la fonction \(\sin(x)\) fait que ce motif se répète. Considérons quelques sous-suites particulières.

Si on considère les entiers \(n_1\lt n_2\lt\cdots\) définis par \(n_k=2k\), alors la sous-suite \((a_{n_k})_{k\geqslant 0}\) est la suite \(0,1,0,-1,0,1,0,-1,\dots\)
Si on considère les entiers \(n_1\lt n_2\lt\cdots\) définis par \(n_k=4k\), alors la sous-suite \((a_{n_k})_{k\geqslant 0}\) est une suite constante puisque \(a_{n_k}=a_{4k}=\sin(k\pi)=0\) pour tout \(k\).

Bien-sûr, on peut considérer des sous-suites arbitraires, par exemple celle obtenue en prenant \(n_k=k^2+[\sqrt{n}]\), le long desquelles on n'observe pas forcément une régularité.

Théorème:(Théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée \((a_n)_n\) on peut extraire une sous-suite convergente. Plus précisément: Si \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\), alors il existe \(L\in [-C,C]\) et une sous-suite \((a_{n_k})_k\) telle que \(a_{n_k}\to L\).

Soit \(L:= \limsup_{n\to \infty}x_n\), c'est-à-dire \[L=\lim_{n\to \infty} M_n\,,\] où \(M_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\). Considérons une suite \((\varepsilon_j)_{j\geqslant 1}\) positive, tendant vers zéro. (Pour fixer les idées, on peut choisir \(\varepsilon_j:= \frac{1}{j}\).)

\(j=1\): Par définition de la limite, il existe \(n_1'\) tel que \[ L-\tfrac{\varepsilon_1}{2}\leqslant M_{n_1'}\leqslant L+\tfrac{\varepsilon_1}{2}\,.\] Par définition du supremum, il existe \(n_1\geqslant n_1'\) tel que \[ L-\varepsilon_1\leqslant a_{n_1}\leqslant L+\varepsilon_1\,.\]
\(j=2\): Par définition de la limite, il existe \(n_2'\gt n_1\) tel que \[ L-\tfrac{\varepsilon_2}{2}\leqslant M_{n_2'}\leqslant L+\tfrac{\varepsilon_2}{2}\,.\] Par définition du supremum, il existe \(n_2\geqslant n_2'\) tel que \[ L-\varepsilon_2\leqslant a_{n_2}\leqslant L+\varepsilon_2\,.\]
etc.

Ainsi, on a construit une suite \((n_k)\) strictement croissante telle que pour tout \(k\), \[ L-\varepsilon_k\leqslant a_{n_k}\leqslant L+\varepsilon_k\,. \] Ceci signifie bien que \(a_{n_k}\to L\).

Avant de voir des exemples, remarquons que la conclusion du théorème n'est plus vraie en général si la suite n'est pas bornée:

Exemple: La suite \(a_n=n\) n'est pas bornée, et elle ne possède aucune sous-suite convergente.

Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[a_n=\cos(e^{3n}+e^{n^2}\sin(5n^3))\,.\] Puisque \(|a_n|\leqslant 1\), le théorème garantit l'existence d'un réel \(L\in [-1,1]\) et d'une sous suite \((a_{n_k})_k\) telle que \(a_{n_k}\to L\) lorsque \(k\to \infty\).

Voyons un exemple simple dans lequel la sous-suite peut être donnée explicitement.

Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}\,,\] qui est bornée puisque \(|a_n|=\frac{n}{n+1}\leqslant 2\). Cette suite ne converge pas, mais le théorème garantit l'existence d'au moins une sous-suite convergente, et les candidats sont

Effectivement:

Si on ne regarde que les indices pairs, c'est-à-dire que l'on considère \(n_k=2k\), alors on obtient la sous-suite \[a_{n_k}=a_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\,,\] qui converge vers \(1\) lorsque \(k\to\infty\).
Si on ne regarde que les indices impairs, c'est-à-dire que l'on considère \(n_k=2k+1\), alors on obtient la sous-suite \[a_{n_k}=a_{2k+1}=-\frac{2k+1}{2k+2}\,,\] qui converge vers \(-1\) lorsque \(k\to \infty\).

Donc dans cet exemple, on peut extraire de la suite deux sous-suites différentes, qui ont des limites différentes:

Remarquons encore que \(\limsup_{n\to\infty}a_n=+1\), et \(\liminf_{n\to\infty}a_n=-1\).

Quiz 3.12-1 : Vrai ou faux?

() Si une suite est bornée, alors elle converge.
() Si une suite n'est pas bornée, alors elle diverge.
() Si toutes les sous-suites d'une suite sont bornées, alors cette suite est bornée.
() Si une suite possède une sous-suite bornée, alors elle est bornée.
() Si une suite est minorée, alors elle possède une sous-suite convergente.
() Toute suite possède une sous-suite convergente.
() Si une suite possède une sous-suite convergente, alors elle est bornée.
() Si \((a_n)\) est bornée, alors au moins une des suites \((a_{2k})_k\), \((a_{2k+1})_k\), est convergente.
() Si une suite \(a_n\) est bornée, alors il existe un unique réel \(L\) et une unique sous-suite \(a_{n_k}\) telle que \(a_{n_k}\to L\).
() ⚡ Il existe une suite \(a_n\in [0,1]\) possédant la propriété suivante: pour tout \(L\in [0,1]\), il existe une sous-suite \((a_{n_k})_k\) telle que \(a_{n_k}\to L\) lorsque \(k\to\infty\).

---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:51)) ----