\(\bigstar\) Supposons qu'à l'aide d'un crayon noir, on place une infinité de points dans un intervalle \([-C,C]\). Les points sont placés les uns après les autres, et peuvent être choisis de façon tout à fait arbitraire. Et bien il existe forcément un point de l'intervalle proche duquel vont s'accumuler une infinité de points noirs.
Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[ a_n=\sin(n\tfrac{\pi}{4})\,. \] Entre \(n=0\) et \(n=8\), cette suite prend les valeurs \[0,\frac{\sqrt{2}}{2},1,\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-1, -\frac{\sqrt{2}}{2},0\,.\] Ensuite, la périodicité de la fonction \(\sin(x)\) fait que ce motif se répète. Considérons quelques sous-suites particulières.
Théorème:(Théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée \((a_n)_n\) on peut extraire une sous-suite convergente. Plus précisément: Si \(|a_n|\leqslant C\) pour tout \(n\), alors il existe \(L\in [-C,C]\) et une sous-suite \((a_{n_k})_k\) telle que \(a_{n_k}\to L\).
Soit \(L:= \limsup_{n\to \infty}x_n\), c'est-à-dire \[L=\lim_{n\to \infty} M_n\,,\] où \(M_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\). Considérons une suite \((\varepsilon_j)_{j\geqslant 1}\) positive, tendant vers zéro. (Pour fixer les idées, on peut choisir \(\varepsilon_j:= \frac{1}{j}\).)
Avant de voir des exemples, remarquons que la conclusion du théorème n'est plus vraie en général si la suite n'est pas bornée:
Exemple: La suite \(a_n=n\) n'est pas bornée, et elle ne possède aucune sous-suite convergente.
Voyons un exemple simple dans lequel la sous-suite peut être donnée explicitement.
Exemple:
Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par
\[a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}\,,\] qui est bornée puisque
\(|a_n|=\frac{n}{n+1}\leqslant 2\).
Cette suite ne converge pas, mais
le théorème garantit l'existence d'au
moins une sous-suite convergente, et les candidats sont
Effectivement: