Décrire le comportement des suites \(x_{n+1}=g(x_n)\)
ci-dessous dans la limite \(n\to \infty\),
qualitativement, uniquement à
l'aide de l'interprétation graphique de la trajectoire. On considérera en
particulier le comportement en fonction du choix de la condition initiale.
- \(x_0\in \mathbb{R}\), \(g(x):= \frac{3-x}{2}\).
- \(x_0\in \mathbb{R}\), \(g(x):= 2x-5\).
- \(x_0\in \mathbb{R}^*\), \(g(x):= \frac{1}{x}\).
- \(x_0\in \mathbb{R}\), \(g(x):= 4-x\).
- \(x_0\in \mathbb{R}\), \(g(x):= x^2+1\).
- \(x_0\in \mathbb{R}_+\), \(g(x):= x^2\).
- \(x_0\in \mathbb{R}\), \(g(x):= \cos(x)\).
- \(x_0\in \mathbb{R}\),
\(g(x):=
\begin{cases}
\frac{x+1}{2}&\text{ si }x\lt 1\,, \\
\frac{x}{2}&\text{ si }x\geqslant 1\,.
\end{cases}
\)
On a vu
ici
que la connaissance du graphe de \(g\) permet d'obtenir des informations
qualitatives utiles sur le comportement de la suite, en particulier dans la
limite \(n\to \infty\).
Dans chaque cas, on devra distinguer le comportement de la suite en fonction de
la condition initiale: si le comportement de la suite change en fonction de la
condition initiale, on décrira ce changement.
L'interprétation graphique de la construction d'une suite définie par récurrence
permet parfois, sans le moindre calcul, d'obtenir beaucoup d'informations, mais
insistons sur le fait qu'elle ne représente pas une étude
rigoureuse. Donc chacune des affirmations faites au sujet des suites
ci-dessus, pour être validée, devrait
en principe
être complétée par une étude rigoureuse, comme vu au
cours ou dans les exercices précédents.