Les limites inférieures/supérieures sont introduites
ici.
Cet exercice a pour but de décortiquer leurs définitions dans un cas
particulier.
Un croquis représentant le graphe,
et la motivation donnée au cours pourront aider.
Remarquons que \(a_n\gt 1\) si \(n\) est pair, \(a_n\lt 1\) si \(n\) est impair.
On a donc, pour \(n\geqslant 2\)
\[\begin{aligned}
M_n&=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\
&=\sup\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\
&=\sup\{1+\tfrac{1}{k}\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\
&=
\begin{cases}
1+\frac{1}{n}&\text{ si n est pair,}\\
1+\frac{1}{n+1}&\text{ si n est impair,}
\end{cases}
\end{aligned}\]
ce qui signifie
\[\begin{aligned}
M_1&=M_2=1+\frac12\,,\\
M_3&=M_4=1+\frac14\,,\\
M_5&=M_6=1+\frac16\,,...
\end{aligned}\]
Donc \(M_n\) est bien décroissante, minorée (par \(1\)),
et \(\lim_{n\to\infty}M_n=1\). Donc
\[
\limsup_{n\to\infty}a_n=1\,.
\]
Aussi,
\[\begin{aligned}
m_n&=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\
&=\inf\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\
&=\inf\{-(1+\tfrac{1}{k})\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\
&=
\begin{cases}
-(1+\frac{1}{n})&\text{ si n est impair,}\\
-(1+\frac{1}{n+1})&\text{ si n est pair.}
\end{cases}
\end{aligned}\]
On a donc
\[\begin{aligned}
m_1&=-1-\frac11\,,\\
m_2&=m_3=-\left(1+\frac13\right)\,,\\
m_4&=m_5=-\left(1+\frac15\right)\,,\\
etc.
\end{aligned}\]
Donc \(m_n\) est croissante, majorée par \(-1\), et \(\lim_nm_n=-1\). Donc
\[
\liminf_{n\to\infty}a_n=-1\,.
\]