Exercice 04-10
Soit \((a_n)\) définie par \(a_n:= (-1)^n(1+\frac{1}{n})\), \(n\geqslant 1\). Considérer les suites \((M_n)\) et \((m_n)\) introduites au cours.
  1. Donner \(M_n\) et \(m_n\) explicitement (en fonction de \(n\)).
  2. Vérifier que \(M_n\) (resp. \(m_n\)) est décroissante (resp. croissante), minorée (resp. majorée), et donner sa limite.
  3. Calculer \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n\), \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n\).
Les limites inférieures/supérieures sont introduites ici. Cet exercice a pour but de décortiquer leurs définitions dans un cas particulier.

Un croquis représentant le graphe, et la motivation donnée au cours pourront aider.
Remarquons que \(a_n\gt 1\) si \(n\) est pair, \(a_n\lt 1\) si \(n\) est impair. On a donc, pour \(n\geqslant 2\) \[\begin{aligned} M_n&=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\sup\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\ &=\sup\{1+\tfrac{1}{k}\,:\,k\geqslant n, k\text{ pair}\}\\ &= \begin{cases} 1+\frac{1}{n}&\text{ si n est pair,}\\ 1+\frac{1}{n+1}&\text{ si n est impair,} \end{cases} \end{aligned}\] ce qui signifie \[\begin{aligned} M_1&=M_2=1+\frac12\,,\\ M_3&=M_4=1+\frac14\,,\\ M_5&=M_6=1+\frac16\,,... \end{aligned}\] Donc \(M_n\) est bien décroissante, minorée (par \(1\)), et \(\lim_{n\to\infty}M_n=1\). Donc \[ \limsup_{n\to\infty}a_n=1\,. \] Aussi, \[\begin{aligned} m_n&=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\inf\{a_k\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\ &=\inf\{-(1+\tfrac{1}{k})\,:\,k\geqslant n, k\text{ impair}\}\\ &= \begin{cases} -(1+\frac{1}{n})&\text{ si n est impair,}\\ -(1+\frac{1}{n+1})&\text{ si n est pair.} \end{cases} \end{aligned}\] On a donc \[\begin{aligned} m_1&=-1-\frac11\,,\\ m_2&=m_3=-\left(1+\frac13\right)\,,\\ m_4&=m_5=-\left(1+\frac15\right)\,,\\ etc. \end{aligned}\] Donc \(m_n\) est croissante, majorée par \(-1\), et \(\lim_nm_n=-1\). Donc \[ \liminf_{n\to\infty}a_n=-1\,. \]