On sait qu'une suite bornée peut ne pas converger (ne pas avoir de limite). On va voir ici que l'on peut pourtant toujours définir deux nombres, appelés limite supérieur et limite inférieure, qui donnent des informations sur le comportement de la suite à l'infini.
Soit \((a_n)\) une suite bornée. On définit deux nouvelles suites, \((M_n)\) et \((m_n)\): \[\begin{aligned} M_n&:= \sup \{a_n,a_{n+1},\dots\}\,,\\ m_n&:= \inf \{a_n,a_{n+1},\dots\}\,. \end{aligned}\] Remarquons que \[ m_n\leqslant a_n\leqslant M_n\qquad \forall n\,. \]
Lemme: Les suites \((M_n)\) et \((m_n)\) sont monotones et bornées. Plus précisément,
Définissons \(A_n:= \{a_n,a_{n+1},\dots\}\). Puisque \(A_{n+1}\subset A_{n}\), on a d'une part que \(\sup A_{n+1}\leqslant \sup A_n\), ce qui donne \[M_{n+1}\leqslant M_n,\] et d'autre part que \(\inf A_{n+1}\geqslant \inf A_n\), ce qui donne \[m_{n+1}\geqslant m_n\,.\] Comme \((a_n)\) est bornée, \((M_n)\) est minorée, et \((m_n)\) est majorée. On a donc existence des limites \(\lim_{n\to \infty} M_n\) et \(\lim_{n\to \infty} m_n\).
On observe ces propriétés sur l'animation ci-dessous. La suite \((a_n)\) est représentée par les points noirs, \((M_n)\) par les points rouges, et \((m_n)\) par les points bleus:
Remarque:
Exemple: Considérons la suite \(a_n=(-1)^n\), qui comme on le sait est bornée mais ne possède pas de limite. D'une part, \(M_n=+1\) pour tout \(n\), et donc \[ \limsup_{n\to\infty} a_n=+1\,. \] D'autre part, \(m_n=-1\) pour tout \(n\), et donc \[ \liminf_{n\to\infty} a_n=-1\,. \]
On peut utiliser les \(\liminf/\limsup\) pour formuler un critère pour l'existence de la vraie limite d'une suite:
Théorème: Soit \((a_n)\) une suite bornée. Alors \((a_n)\) converge et sa limite vaut \(\lim_{n\to \infty} a_n=L\) si et seulement si \[\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L\,.\]
(Voir la vidéo)