Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[ a_n=\sin(\tfrac{\pi}{4}+n\tfrac{\pi}{2})\,. \]
On sait qu'une suite convergente est bornée, mais le contraire n'est pas vrai:
une suite peut être bornée sans converger (par exemple: \((-1)^n\)).
On va voir ici que l'on peut malgré tout associer à toute suite bornée deux
nombres, appelés limite supérieure et
limite inférieure,
qui donnent des informations utiles sur le comportement de la
suite à l'infini. On verra aussi que ces deux nombres sont égaux si et seulement
si la suite converge.
Soit \((a_n)\) une suite bornée. On définit deux nouvelles suites, \((M_n)\) et \((m_n)\) en posant, pour tout \(n\), \[\begin{aligned} M_n&:= \sup \{a_n,a_{n+1},\dots\}\,,\\ m_n&:= \inf \{a_n,a_{n+1},\dots\}\,. \end{aligned}\] Ces deux suites de réels sont bien définies puisque l'on suppose \((a_n)\) bornée. De plus,
On peut donc écrire \[ m_n\leqslant a_n\leqslant M_n\qquad \forall n\,. \]
Lemme: Les suites \((M_n)\) et \((m_n)\) sont monotones et bornées. Plus précisément,
Définissons \(A_n:= \{a_n,a_{n+1},\dots\}\). Puisque \(A_{n+1}\subset A_{n}\), on a d'une part que \(\sup A_{n+1}\leqslant \sup A_n\), ce qui donne \[M_{n+1}\leqslant M_n,\] et d'autre part que \(\inf A_{n+1}\geqslant \inf A_n\), ce qui donne \[m_{n+1}\geqslant m_n\,.\] Comme \((a_n)\) est bornée, \((M_n)\) est minorée, et \((m_n)\) est majorée. On a donc existence des limites \(\lim_{n\to \infty} M_n\) et \(\lim_{n\to \infty} m_n\).
On observe ces propriétés sur l'animation ci-dessous. La suite \((a_n)\) est représentée par les points noirs, \((M_n)\) par les points rouges, et \((m_n)\) par les points bleus:
Maintenant que l'on sait que ces suites sont convergentes, il est naturel de donner des noms à leurs limites:
Remarque:
Exemple: Considérons la suite \(a_n=(-1)^n\), qui comme on le sait est bornée mais ne possède pas de limite. Quel que soit la valeur de \(n\), l'ensemble \(\{a_n,a_{n+1},\dots\}\) contient une infinité de \(+1\), et une infinité de \(-1\), ce qui implique \(M_n=+1\) et \(m_n=-1\). Ainsi, \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}M_n&=+1\,,\\ \lim_{n\to\infty}m_n&=-1\,, \end{aligned}\] qui signifie \[\begin{aligned} \limsup_{n\to\infty} a_n&=+1\,,\\ \liminf_{n\to\infty} a_n&=-1\,. \end{aligned}\]
Exemple: Considérons \(a_n=\frac{1}{n}\). Puisque \((a_n)\) est décroissante, \[\begin{aligned} M_n &=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\sup\left\{\frac1n,\frac{1}{n+1},\dots\right\}\\ &=\frac1n\to 0\,. \end{aligned}\] Aussi, \[\begin{aligned} m_n &=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\\ &=\inf\left\{\frac1n,\frac{1}{n+1},\dots\right\} =0 \end{aligned}\] On a donc \[ \limsup_{n\to \infty}a_n= \liminf_{n\to \infty}a_n=0\,. \] Remarquons que dans ce cas, on sait aussi que \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\).
On a vu dans ce dernier exemple un cas d'une suite convergente pour laquelle les limites supérieures et inférieures avaient une valeur commune. C'est en fait un critère:
Théorème: Soit \((a_n)\) une suite bornée. Alors \((a_n)\) converge si et seulement si ses limites inférieures et supérieures sont égales. Plus précisément: \[\lim_{n\to \infty} a_n=L \qquad \Leftrightarrow \qquad \liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L\,.\]
Bien-sûr ce résultat est aussi utile si on veut montrer qu'une suite bornée ne converge pas: il suffit de voir que ses limites supérieures et inférieures sont différentes.
(Voir aussi la vidéo)
\(\Rightarrow:\) Si \(a_n\to L\), alors pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe
\(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
Ceci implique que
\[ L-\varepsilon \leqslant a_n \leqslant L+\varepsilon \,,\quad \forall n\geqslant N\,,
\]
et donc en particulier que pour tout \(n\geqslant N\),
\[
M_n=\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\leqslant L+\varepsilon\,,
\]
et
\[
m_n=\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\geqslant L-\varepsilon\,.
\]
Par conséquent,
\[
L-\varepsilon
\leqslant
\liminf_{n\to\infty}a_n\leqslant
\limsup_{n\to\infty}a_n\leqslant
L+\varepsilon\,.
\]
Comme \(\varepsilon\gt 0\) est arbitraire, on a
\[
\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L\,.
\]
\(\Leftarrow:\) Supposons que
\(\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}a_n=L\).
Si on fixe \(\varepsilon\gt 0\), alors on a d'une part qu'il existe un \(N_+\) tel
que
\[
\sup\{a_n,a_{n+1},\dots\}\leqslant L+\varepsilon\,,\qquad \forall n\geqslant N_+
\]
et d'autre part qu'il existe un \(N_-\) tel que
\[
\inf\{a_n,a_{n+1},\dots\}\geqslant L-\varepsilon\,,\qquad \forall n\geqslant N_-
\]
Ceci implique, en particulier, que
\[
L-\varepsilon \leqslant a_n \leqslant L+\varepsilon\,,\qquad \forall n\geqslant N\,,
\]
où on a posé \(N=\max\{N_-,N_+\}\).
Ceci montre que \(a_n\to L\).
Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[ a_n=\sin(\tfrac{\pi}{4}+n\tfrac{\pi}{2})\,. \]
Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)
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