Exercice 03-07
Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont équivalentes à
''\(a_n\to L\)''.
- Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un
entier \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
- Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un
entier \(N\) tel que \(|a_n-L|< \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
- Pour tout \(j\in \mathbb{N}^*\) il existe un
entier \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \frac{1}{j}\) pour tout \(n\geqslant N\).
- Il existe une constante \(C>0\) telle que
pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un
entier \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant C\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
- Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un
entier \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon^2\) pour tout \(n\geqslant N\).
Dans le
cours,
on a défini ''\(a_n\to L\)'' avec la définition donnée au point 1.
Toutes ces affirmations sont équivalentes à la convergence
de \(a_n\) vers \(L\).
Donc cet exercice montre qu'on a une certaine flexibilité dans la façon dont
on veut exprimer la notion de la limite.
(Remarquons qu'elle a pourtant toujours la structure de
''pour tout \(\varepsilon\gt 0\), il existe un \(N\) tel que...'')
Montrons par exemple que les définitions 1. et 2. sont équivalentes.
Supposons que \((a_n)\) vérifie 1.
Fixons \(\varepsilon\gt 0\).
Puisque \((a_n)\) vérifie 1., on peut définir
\(\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}\), et garantir qu'il
existe \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon'\) pour tout \(n\geqslant N\).
Puisque \(\varepsilon'\lt \varepsilon\), ceci implique en
particulier que \(|a_n-L|\lt \varepsilon\), pour tout \(n\geqslant N\).
Donc \((a_n)\) vérifie 2. aussi.
Supposons que \((a_n)\) vérifie 2.
Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Puisque \((a_n)\) vérifie 2., il existe \(N\) tel que
\(|a_n-L|\lt \varepsilon\). Ceci implique en
particulier que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\).
Donc \((a_n)\) vérifie 1. aussi.
Les autres équivalences se montrent de façon similaire.