Toutes ces affirmations sont équivalentes à la convergence de $a_n$ vers $L$. Donc cet exercice montre qu'on a une certaine flexibilité dans la façon dont on veut exprimer la notion de la limite. (Remarquons qu'elle a pourtant toujours la structure de ''pour tout $\varepsilon\gt 0$, il existe un $N$ tel que...'')

Montrons par exemple que les définitions 1. et 2. sont équivalentes.

Supposons que $(a_n)$ vérifie 1. Fixons $\varepsilon\gt 0$. Puisque $(a_n)$ vérifie 1., on peut définir $\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}$, et garantir qu'il existe $N$ tel que $|a_n-L|\leqslant \varepsilon'$ pour tout $n\geqslant N$. Puisque $\varepsilon'\lt \varepsilon$, ceci implique en particulier que $|a_n-L|\lt \varepsilon$, pour tout $n\geqslant N$. Donc $(a_n)$ vérifie 2. aussi.

Supposons que $(a_n)$ vérifie 2. Fixons $\varepsilon\gt 0$. Puisque $(a_n)$ vérifie 2., il existe $N$ tel que $|a_n-L|\lt \varepsilon$. Ceci implique en particulier que $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$. Donc $(a_n)$ vérifie 1. aussi.

Les autres équivalences se montrent de façon similaire.