3.2 Limite: \(a_n\to L\)

La notion centrale de l'analyse est celle de limite, et on va l'aborder ici pour la première fois, dans le cadre simple des suites réelles.

Définir rigoureusement ce que signifie ''tendre vers \(L\)'' est une des difficultés rencontrées dans ce cours. Nous allons donc commencer par le cas \(L=0\) avant de passer au cas général.

Tendre vers zéro

Pour un réel \(x\), ''être proche de zéro'' signifie que la distance qui le sépare de \(0\) est petite. Donc pour voir si les valeurs d'une suite \((a_n)\) s'approchent de zéro, il est naturel de considérer la distance \[ \mathrm{dist}(a_n,0)=|a_n-0|=|a_n|\,, \] et de quantifier précisément ce qu'on entend par ''cette distance devient toujours plus petite à mesure que \(n\) augmente''.

On dit qu'une suite \((a_n)\) tend vers zéro (lorsque \(n\to\infty\)) si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) (qui dépend de \(\varepsilon\)) tel que \(|a_n| \leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\), c'est-à-dire tel que \[ a_n\in [-\varepsilon,\varepsilon] \qquad \forall n\geqslant N\,. \] On écrira alors \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=0\), ou simplement \(a_n\to 0\).

Une autre façon de formuler cette définition: \((a_n)\) tend vers zéro lorsque \(n\to\infty\) si pour tout \(\varepsilon>0\) (une fenêtre), tous les éléments de la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre eux, sont dans l'intervalle \([-\varepsilon,\varepsilon]\).

Sur l'animation ci-dessous, choisir un \(\varepsilon\gt 0\), et trouver un \(N\) tel que \(a_n\in [-\varepsilon,\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N\):

Exemple: Considérons la suite \[a_n=\frac{1}{n}\,,\qquad n\geqslant 1\,.\] Montrons que cette suite tend vers zéro, dans le sens défini ci-dessus.

Fixons un \(\varepsilon>0\), et vérifions que l'on peut toujours trouver un entier \(N\) tel que \[|a_n|\leqslant \varepsilon\qquad\forall n\geqslant N\,.\] Pour ce faire, remarquons que la condition \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) est en fait équivalente à \(\frac{1}{n}\leqslant \varepsilon\), et comme cette dernière est équivalente à \(n\geqslant \frac{1}{\varepsilon}\). Pour l'entier \(N\), on peut prendre n'importe quel entier plus grand ou égal à \(\frac{1}{\varepsilon}\). On peut par exemple prendre (rappelons que \(\lfloor x\rfloor:=\)partie entière de \(x\)): \[ N:= \Bigl\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\Bigr\rfloor+1\,. \] On a ainsi trouvé un entier \(N\) tel que \(n\geqslant N\) implique \(|a_n|\leqslant \varepsilon\).

On voit, dans ce dernier exemple, comme le \(N\) cherché dépend de \(\varepsilon\)! Car en général, plus \(\varepsilon>0\) est petit, plus il faut augmenter \(n\) pour faire rentrer \(a_n\) dans l'intervalle \([-\varepsilon,\varepsilon]\).
Tendre vers \(L\in \mathbb{R}\)

La définition de ''tendre vers \(L\)'' est seulement une adaptation de la définition de ''tendre vers zéro'': pour que \(a_n\) tende vers \(L\), il faut que la suite \(a_n':= a_n-L\) tende vers zéro.

Soit \(L\in \mathbb{R}\). On dit qu'une suite \((a_n)\) tend vers \(L\) (lorsque \(n\to\infty\)) si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier positif \(N\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\), c'est -à-dire tel que \[ a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\qquad \forall n\geqslant N\,. \] On dira alors que \(L\) est la limite de la suite \((a_n)\), et on écrira \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=L\) ou simplement \(a_n\to L\).

Lorsqu'il existe un \(L\in \mathbb{R}\) tel que \((a_n)\) tend vers \(L\), on dit que la suite converge; si elle ne converge pas, on dit qu'elle diverge.

Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \[a_n=\frac{3n+2}{2n+1}\,.\] Montrons, en utilisant la définition de limite donnée plus haut, que \[\lim_{n\to \infty} a_n=\frac32\,.\] Fixons donc un \(\varepsilon\gt 0\), et vérifions que l'on peut trouver un entier \(N\) tel que \[ \left|a_n-\frac32\right|\leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] D'abord, écrivons explicitement la différence \[ \left|a_n-\frac32\right| =\Bigl|\frac{3n+2}{2n+1}-\frac32\Bigr| =\frac{1}{2(2n+1)}\,. \] On voit que cette dernière expression peut être rendue arbitrairement petite en prenant \(n\) suffisamment grand. Plus précisément: fixons un \(\varepsilon>0\). Une simple manipulation montre que \[ \frac{1}{2(2n+1)}\leqslant \varepsilon \qquad \Longleftrightarrow \qquad n\geqslant \frac12 \Bigl(\frac{1}{2\varepsilon}-1\Bigr)\,. \] Pour \(N\), il suffit donc de prendre n'importe quel entier plus grand ou égal à \(\frac12(\frac{1}{2\varepsilon}-1)\). Pour être tout à fait précis, définissons (rappel: \(\lfloor x \rfloor=\)valeur entière de \(x\)) \[ N:= \Bigl\lfloor\frac12 \Bigl(\frac{1}{2\varepsilon}-1\Bigr)\Bigr\rfloor+1\,.\] Par cette définition de \(N\), \(n\geqslant N\) implique que \(|a_n-\frac32|\leqslant \varepsilon\).

On a donc bien montré que \((a_n)\) est convergente, et que sa limite vaut \(\frac32\).

Remarquons que peu importe comment il est choisi, \(N\) devient de plus en plus grand à mesure que \(\varepsilon>0\) devient plus petit.

Exemple: Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 1}\) définie par \[ a_n=(-1)^n\,. \] Comme cette suite ne prend que les valeurs \(+1\) (lorsque \(n\) est pair) et \(-1\) (lorsque \(n\) est impair), elle est nécessairement divergente. En effet, pour n'importe quel \(L\in\mathbb{R}\), si \(\varepsilon\gt 0\) est pris suffisamment petit (en fait: si \(0\lt \varepsilon\lt \frac12\)), alors il existe forcément une infinité d'indices \(n\) tels que \(a_n\not\in[L-\varepsilon,L+\varepsilon]\).

Quiz 3.2-1 : Soit \((a_n)\) telle que \(a_n\to 0\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
  1. \((a_n)\) est décroissante.
  2. \(|a_n|\to 0\).
  3. \(a_n=0\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
  4. Si \((b_n)\) est une suite quelconque, alors \(a_nb_n\to 0\).
  5. Si \((b_n)\) est une autre suite telle que \(b_n\to 0\), alors \(\frac{a_n}{b_n}\to 1\).
  6. Il existe \(M>0\) tel que \(|a_k|\leqslant M\) pour tout \(k\).
  7. \(\frac{1}{a_n}\to \infty\)
  8. Pour tout \(\delta>0\), l'ensemble des entiers \(n\) tels que \(a_n\not\in \left]-\delta,\delta\right[\) est fini.
Quiz 3.2-2 : Soit \((a_n)\) une suite tendant vers \(L\in \mathbb{R}\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
  1. L'ensemble \(\{n\in \mathbb{N}\,:\,a_n=L\}\) contient une infinité d'éléments.
  2. Pour tout \(\eta>0\), le nombre d'entiers \(n\) tels que \(a_n\geqslant L+\eta\) est fini.
  3. Pour tout \(\varepsilon>0\), on a \(a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tous les indices \(n\), sauf éventuellement un nombre fini.
  4. Pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un entier \(N\) tel que \(|a_n-L|<\varepsilon\) pour tout \(n>N\).
  5. \(a_n\neq L\) pour tout \(n\).
  6. Si \(L\gt 0\), alors le nombre d'indices \(n\) tels que \(a_n\leqslant 0\) est fini.
  7. Pour tout entier \(N\), il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
  8. La suite \(b_n=e^{a_n}\) est bornée.
Quiz 3.2-3 : Soit \((a_n)\) une suite qui ne tend pas vers \(L\in \mathbb{R}\). Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
  1. Pour tout \(\varepsilon<0\) il existe un entier \(N\) tel que \(|a_n-L|>\varepsilon\) pour tout \(n< N\).
  2. Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) tel que \(|a_n-L|<\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
  3. Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) tel que \(|a_n-L|>\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
  4. Il existe un \(\varepsilon>0\) tel que \(a_n\not \in \,\,[L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour une infinité d'indices \(n\).
  5. Il existe un \(\varepsilon>0\) tel que \(a_n\not \in \,\,[L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N\).

Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)

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