''Infini: En quoi on ne peut concevoir ni remarquer aucune limite.
''
Le Robert Méthodique
La notion centrale de l'analyse est celle de limite, et on va l'aborder
ici pour la première fois, dans le cadre simple des suites réelles.
Définir rigoureusement ce que signifie ''tendre vers \(L\)'' est une des
difficultés rencontrées dans ce cours. Nous allons donc commencer par le cas
\(L=0\) avant de passer au cas général.
Avant tout, pour un réel, ''être proche de zéro''
signifie que la distance qui le
sépare de \(0\), c'est-à-dire sa valeur absolue, est petite.
Donc pour voir si les valeurs d'une suite s'approchent de zéro,
il est naturel de considérer la distance
\[
\mathrm{dist}(a_n,0)=|a_n-0|=|a_n|\,,
\]
et de quantifier précisément ce qu'on entend par ''cette distance devient
toujours plus petite à mesure que \(n\) augmente''.
On dit qu'une suite \((a_n)\) tend vers zéro (lorsque \(n\to\infty\)) si
pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) (qui dépend de \(\varepsilon\))
tel que \(|a_n| \leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\), c'est-à-dire tel que
\[a_n\in [-\varepsilon,\varepsilon]
\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
On écrira alors \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=0\), ou simplement \(a_n\to 0\).
Une autre façon de formuler cette définition: \((a_n)\) tend vers zéro lorsque
\(n\to\infty\) si pour tout \(\varepsilon>0\) (une fenêtre), tous les éléments de
la suite, à l'exception d'un nombre fini d'entre eux, sont dans l'intervalle
\([-\varepsilon,\varepsilon]\).
Sur l'animation ci-dessous, choisir un \(\varepsilon\gt 0\), et trouver un \(N\)
tel que \(a_n\in [-\varepsilon,\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N\):
Exemple:
Considérons
la suite
\[a_n=\frac{1}{n}\,,\qquad n\geqslant 1\,.\]
Montrons que cette suite tend vers zéro, dans le sens défini ci-dessus.
Fixons un \(\varepsilon>0\), et vérifions que l'on peut toujours
trouver un entier \(N\) tel que
\[|a_n|\leqslant \varepsilon\qquad\forall n\geqslant N\,.\]
Pour ce faire, remarquons que
la condition \(|a_n|\leqslant \varepsilon\) est en fait équivalente à
\(\frac{1}{n}\leqslant \varepsilon\), et
comme cette dernière est équivalente à \(n\geqslant \frac{1}{\varepsilon}\).
Pour l'entier \(N\), on peut prendre
n'importe quel entier plus grand ou égal à
\(\frac{1}{\varepsilon}\). On peut par exemple prendre
(rappelons que \(\lfloor x\rfloor:=\)partie entière de \(x\)):
\[ N:= \Bigl\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\Bigr\rfloor+1\,.
\]
On a ainsi trouvé un entier \(N\) tel que
\(n\geqslant N\) implique \(|a_n|\leqslant \varepsilon\).
\(\bigstar\)
On voit, dans ce dernier exemple, comme le \(N\) cherché dépend de \(\varepsilon\)!
Car en général, plus \(\varepsilon>0\) est petit, plus il faut
augmenter \(n\) pour faire
rentrer \(a_n\) dans l'intervalle \([-\varepsilon,\varepsilon]\).
La définition de ''tendre vers \(L\)'' est seulement une adaptation de la
définition de ''tendre vers zéro'': pour que \(a_n\) tende vers \(L\), il faut
que la suite \(a_n':= a_n-L\) tende vers zéro.
Soit \(L\in \mathbb{R}\).
On dit qu'une suite \((a_n)\)
tend vers \(L\) (lorsque \(n\to\infty\))
si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier positif \(N\) tel que
\(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\), c'est -à-dire tel que
\[
a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
On dira alors que \(L\) est la limite de la suite \((a_n)\), et on
écrira
\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=L\)
ou simplement \(a_n\to L\).
Lorsqu'il existe un \(L\in \mathbb{R}\) tel que \((a_n)\) tend vers \(L\), on dit que
la suite converge; si elle ne converge pas,
on dit qu'elle diverge.
Exemple:
Considérons la suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par
\[a_n=\frac{3n+2}{2n+1}\,.\]
Montrons, par le calcul,
que \[\lim_{n\to \infty} a_n=\frac32\,,\] au sens de la définition précédente.
Fixons un \(\varepsilon\gt 0\), et vérifions que l'on peut trouver un entier \(N\)
tel que
\[
\left|a_n-\frac32\right|\leqslant \varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
D'abord, écrivons explicitement la différence
\[
\left|a_n-\frac32\right|
=\Bigl|\frac{3n+2}{2n+1}-\frac32\Bigr|
=\frac{1}{2(2n+1)}\,.
\]
On voit que cette dernière
expression peut être rendue arbitrairement petite en prenant \(n\) suffisamment
grand. Plus précisément: fixons un \(\varepsilon>0\).
Une simple manipulation montre que
\[
\frac{1}{2(2n+1)}\leqslant \varepsilon
\]
est équivalent à
\[ n\geqslant \frac12 \Bigl(\frac{1}{2\varepsilon}-1\Bigr)\,. \]
Pour \(N\), il suffit donc de prendre n'importe quel entier plus grand ou égal
au réel \(\frac12 \Bigl(\frac{1}{2\varepsilon}-1\Bigr)\).
Pour être tout à fait précis, définissons
(rappel: \(\lfloor x \rfloor=\)valeur entière de \(x\))
\[ N:= \Bigl\lfloor\frac12 \Bigl(\frac{1}{2\varepsilon}-1\Bigr)\Bigr\rfloor+1\,.\]
Par cette définition de \(N\), \(n\geqslant N\) implique que
\(|a_n-\frac32|\leqslant \varepsilon\), ce que l'on voulait.
Remarquons que peu importe comment on choisit \(N\), ce dernier est de plus en
plus grand à mesure \(\varepsilon>0\) devient plus petit.
Quiz 3.2-1 :
Soit \((a_n)\) telle que \(a_n\to 0\).
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
() \((a_n)\) est décroissante.
() \(|a_n|\to 0\).
() \(a_n=0\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
() Si \((b_n)\) est une suite quelconque,
alors \(a_nb_n\to 0\).
() Si \((b_n)\) est une autre suite telle que \(b_n\to 0\), alors
\(\frac{a_n}{b_n}\to 1\).
() Il existe \(M>0\) tel que \(|a_k|\leqslant M\) pour tout \(k\).
() \(\frac{1}{a_n}\to \infty\)
() Pour tout \(\delta>0\), l'ensemble des entiers \(n\) tels que
\(a_n\not\in \left]-\delta,\delta\right[\) est fini.
Quiz 3.2-2 :
Soit \((a_n)\) une suite tendant vers \(L\in \mathbb{R}\).
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
() L'ensemble \(\{n\in \mathbb{N}\,:\,a_n=L\}\) contient une infinité
d'éléments.
() Pour tout \(\eta>0\), le nombre d'entiers \(n\) tels que \(a_n\geqslant
L+\eta\) est fini.
() Pour tout \(\varepsilon>0\), on a \(a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\)
pour tous les indices \(n\), sauf éventuellement un nombre fini.
() Pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un entier \(N\) tel que
\(|a_n-L|<\varepsilon\) pour tout \(n>N\).
() \(a_n\neq L\) pour tout \(n\).
() Si \(L\gt 0\), alors le nombre
d'indices \(n\) tels que \(a_n\leqslant 0\) est fini.
() Pour tout entier \(N\), il existe \(\varepsilon>0\) tel que
\(|a_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
() La suite \(b_n=e^{a_n}\) est bornée.
Quiz 3.2-3 :
Soit \((a_n)\) une suite qui ne tend pas vers \(L\in \mathbb{R}\).
Parmi les affirmations
suivantes, lesquelles sont toujours vraies?
() Pour tout \(\varepsilon<0\) il existe un entier \(N\) tel que
\(|a_n-L|>\varepsilon\) pour tout \(n< N\).
() Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) tel que
\(|a_n-L|<\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
() Pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un entier \(N\) tel que
\(|a_n-L|>\varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\).
() Il existe un \(\varepsilon>0\) tel que \(a_n\not
\in \,\,[L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour une infinité d'indices \(n\).
() Il existe un \(\varepsilon>0\) tel que \(a_n\not
\in \,\,[L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N\).
(