Exercice 04-01
Donner, s'il y en a, un ou plusieurs exemples explicites (c'est-à-dire: on définira explicitement chaque terme) de suites \((a_n)_{n\geqslant 1}\) possédant les propriétés suivantes.
  1. Strictement croissante, tendant vers \(\sqrt{2}\).
  2. Possédant une infinité de termes plus grands que \(3\), et une infinité de termes plus petits que \(2\).
  3. Majorée, pas minorée, pas monotone.
  4. Majorée, minorée, divergente, dont tous les termes sont strictement négatifs.
  5. Croissante, divergente, dont tous les termes sont strictement négatifs.
  6. Convergente, pas monotone, dont tous les termes sont strictement positifs.
  7. Convergente, possédant une infinité de termes strictement positifs, et une infinité de termes strictement négatifs.
  8. Convergente, possédant une infinité de termes plus grands ou égaux à \(1\), et une infinité de termes négatifs.
  9. Tendant vers \(+\infty\), avec une infinité de termes strictement négatifs.
  10. Tendant vers \(+\infty\), pour laquelle il n'existe aucun \(N\) tel que \(a_{n+1}\geqslant a_{n}\) pour tout \(n\geqslant N\).
  11. N'ayant que des termes irrationnels, possédant une infinité de termes \(\leqslant 0\), et telle que \(\lim_{k\to\infty}a_{2k}=1\).
Une fois qu'on a un candidat pour une suite devant satisfaire telles conditions, on peut toujours aller tester sur l'appli, pour voir si la suite satisfait effectivement aux conditions.

On pourra reprendre les exemples basiques de suites vus au cours (convergentes/divergentes, monotones, etc.) et les utiliser pour en construire des nouvelles satisfaisant aux conditions demandées.
Bien-sûr les exemples donnés ci-dessous ne représentent à chaque fois qu'une possibilité parmi une infinité d'autres. Parfois, on a mis le bout de code que l'on peut copier-coller dans le champ de l'appli (essayez des variations!).
  1. \(a_n=\sqrt{2}-\frac{1}{n}\)
  2. \(a_n=\frac{5}{2}+(-1)^n\) 5/2+pow(-1,n)
  3. \(a_n=-n+2(-1)^n\) -n+2*pow(-1,n)
  4. \(a_n=-2+(-1)^n\)
  5. Puisque tous ses termes doivent être négatifs, une telle suite doit être majorée par zéro. Or le fait qu'elle doit aussi être croissante implique qu'elle converge forcément, par le théorème vu ici. Donc il n'existe pas de suite ayant ces propriétés.
  6. \(a_n=2+\frac{(-1)^n}{n}\)
  7. \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\). Remarquons que la limite d'une telle suite ne peut être que zéro.
  8. Une telle suite n'existe pas.
  9. Une telle suite n'existe pas.
  10. \(a_n=n+2(-1)^n\) n+2*pow(-1,n)
  11. Par exemple: \[ a_n= \begin{cases} 1+\frac{\sqrt{2}}{n}& \text{ si n est pair}\,,\\ -\sqrt{2}& \text{ si n est impair}\,,\\ \end{cases} \]