On a vu qu'une suite convergente est forcément bornée. Mais le contraire n'est pas vrai: une suite bornée ne converge pas forcément.
Exemple: La suite ne converge pas, mais elle est bornée, puisque , ce qui implique pour tout .
Par contre, si une suite est bornée et monotone, alors elle converge:
Théorème: Soit une suite.
Soit une suite croissante et majorée.
Considérons l'ensemble défini comme étant l'ensemble de tous
les points de la suite:
Puisque la suite est bornée, est majoré; on peut donc considérer le
réel défini par
Nous allons montrer que .
Par définition, le supremum est un majorant, et donc
pour tout .
De plus, comme le supremum est le plus petit majorant, on a que
pour tout , il existe tel que
.
Or comme la suite est croissante, on a
ce qui implique pour tout .
On a ainsi montré que pour tout , on a
pour tout suffisamment grand. Ceci montre que .
(Dans le deuxième cas, lorsque la suite est décroissante et minorée,
on adapte cet argument après avoir défini .)
Si le résultat peut paraître intuitif, la preuve a montré qu'il repose entièrement sur l'existence d'un supremum pour les ensembles majorés de .
Le théorème ci-dessus garantit que si une suite est monotone et bornée, alors elle possède une limite , qui est soit un supremum (si la suite est croissante et majorée), soit un infimum (si la suite est décroissante et minorée). Parfois, on peut calculer cette limite explicitement:
Exemple: Considérons la suite définie par Nous avons montré précédemment que cette suite est strictement croissante. Or elle est aussi majorée, puisque implique Le théorème ci-dessus garantit donc qu'elle converge, et que sa limite est égale à On peut vérifier (exercice!) que .
L'exemple suivant présente un cas dans lequel le théorème permet de montrer qu'une certaine suite converge, mais sans pour autant donner la valeur de la limite.
Exemple: Soit la suite définie ainsi: Cette suite est croissante puisque . Pour montrer qu'elle est bornée, remarquons que pour tout , En utilisant cette inégalité pour , on obtient une borne supérieure dans laquelle beaucoup de termes se téléscopent: On a donc que On a ainsi montré que est majorée par , et comme elle est aussi croissante, elle converge: il existe tel que Puisque , on a aussi que .