Exercice 04-06
Étudier la limite \(n\to\infty\) pour les suites données ci-dessous.
  1. \(n^{2} \cos(\tfrac{1}{n^{2}})\sin(\tfrac{1}{n^{3}})\)
  2. \(\displaystyle \frac{5n^{2}-3n+2}{3n^{2}+7}\)
  3. \(\displaystyle \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\)
  4. \(\displaystyle (-1)^{n}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n}}\)
  5. \(\displaystyle\frac{\sin(n+1)-\sin(n-1)}{\cos(n+1)+\cos(n-1)}\)
  6. \(\displaystyle\frac{\sin(\sqrt{n^{3}+n^{2}+1})}{n^{3}+n^{2}+1}\)
  7. \(\displaystyle \sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-3n}\)
  8. \(\displaystyle\sqrt{n}(\sqrt{n^{3}+n}-\sqrt{n^{3}+1})\)
Quelques exercices classiques sur les limites. Il s'agit ici d'utiliser toutes les techniques à disposition pour étudier des limites et les calculer (pas de '\(\forall\varepsilon\gt 0\) il existe...').

Le \(n^2\) devient grand, le cosinus tend vers \(1\), et le sinus tend vers zéro. Donc il faut regarder de près \(n^2\sin(\frac{1}{n^3})\), qui dans la limite \(n\to\infty\) représente une indétermination ''\(\infty\cdot 0\)''.

... de se dire qu'une somme de choses qui tendent vers zéro tend forcément vers zéro.

On pourra essayer d'utiliser des formules trigonométriques qui se trouvent ici.

  1. Dans \(n^2\cos(\tfrac{1}{n^2})\sin(\tfrac{1}{n^3})\), on voit que \(\cos(\frac{1}{n^2})\to 1\), et que le reste \(n^2\sin(\tfrac{1}{n^3})\) représente une indétermination du type ''\(\infty\cdot 0\)''. Mais si on écrit \[ n^{2}\sin(\tfrac{1}{n^{3}}) = \frac{1}{n}\frac{\sin( \frac{1}{n^{3}})}{\frac{1}{n^{3}}}\,, \] comme \(\frac{1}{n^3}\to 0\), on sait que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{1}{n^{3}})}{\frac{1}{n^{3}}}=1\,, \] par conséquent, \[ \lim_{n\to\infty} \Bigl\{\frac{1}{n}\cdot \frac{\sin(\frac{1}{n^{3}})}{\frac{1}{n^{3}}}\Bigr\} = \Bigl\{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\Bigr\} \Bigl\{\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{1}{n^{3}})}{\frac{1}{n^{3}}}\Bigr\} = 0\cdot 1=0\,, \] On conclut que \[ \lim_{n\to\infty}n^{2}\cos(\tfrac{1}{n^{2}}) \sin(\tfrac{1}{n^{3}}) \lim_{n\to\infty}\cos(\tfrac{1}{n^{2}}) \Bigl\{\frac{1}{n}\cdot \frac{\sin(\frac{1}{n^{3}})}{\frac{1}{n^{3}}}\Bigr\} =1\cdot 0=0\,. \]
  2. Cette limite est du type ''\(\frac{\infty}{\infty}\)''. En mettant en évidence le terme dominant au numérateur et au dénominateur, à savoir \(n^2\), puis en simplifiant par \(n^2\), les propriétés élémentaires de la limite mènent à \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{5n^{2}-3n+2}{3n^{2}+7} &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5-3\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{3 +\frac{7}{n^{2}}}\\ &=\frac{5-3\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n} +2\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}}{3 +7\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}}\\ &=\frac{5}{3}\,. \end{aligned}\]
  3. Grâce à la formule \[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\,, \] on a que \[\begin{aligned} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2} &=\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}\\ &=\frac{n(n+1)}{2n^2}\\ &=\frac12+\frac{1}{2n}\,, \end{aligned}\] et donc la limite cherchée vaut \(\frac12\).

    Attention: Ici, l'erreur serait de penser que chacun des termes \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{2}{n^2}\), etc. tend vers zéro lorsque \(n\to \infty\), et donc que la somme \( \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2} \) tend aussi vers zéro! Le point délicat, c'est que le nombre de termes dans la somme augmente aussi avec \(n\).
  4. On a \[ \lim_{n\to\infty}\Bigl|(-1)^{n}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}n_{\,}^{(\frac{1}{4}-\frac{1}{3})} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{12}}} =0\,, \] et donc \[ \lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n}}=0\,. \]
  5. En utilisant les formules trigonométriques pour \(\sin(a+b)\), \(\cos(a+b)\), on a pour tout \(n\), après simplification, \[ \frac{\sin(n+1)-\sin(n-1)}{\cos(n+1)+\cos(n-1)} =\frac{2\cos(n)\sin(1)}{2\cos(n)\cos(1)}=\tan(1)\,. \] La suite est donc constante, et sa limite vaut \(\tan (1)\).
  6. On peut écrire \(\frac{\sin( \sqrt{n^{3}+n^{2}+1})}{n^{3}+n^{2}+1}=a_nb_n\), où \[ a_n=\sin(\sqrt{n^{3}+n^{2}+1})\,,\qquad b_n:= \frac{1}{n^{3}+n^{2}+1}\,. \] Or \(|a_n|=| \sin( \sqrt{n^{3}+n^{2}+1})| \leqslant 1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), et \[ \lim_{n\to \infty} b_n= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}+n^{2}+1}=0. \] La suite donnée est donc le produit d'une suite bornée par une suite qui converge vers zéro, et donc \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin( \sqrt{n^{3}+n^{2}+1})}{n^{3}+n^{2}+1}=0\,. \]
  7. En multipliant et divisant par le conjugué, on obtient \[\begin{aligned} \sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-3n} &=\frac{4n+2}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-3n}}\\ &=\frac{4+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} +\sqrt{1-\frac{3}{n}}}\,. \end{aligned}\] En traitant les racines comme dans les exercices précédents, on obtient \[ \lim_{n\to\infty} \frac{4+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{n}}} =\frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=2\,. \]
  8. En multipliant et divisant par le conjugué de la différence de racines, \[ \sqrt{n}(\sqrt{n^{3}+n}-\sqrt{n^{3}+1}) =\frac{\sqrt{n}(n-1)}{\sqrt{n^{3}+n}+\sqrt{n^{3}+1}}\,. \] Si on extrait les termes dominants en bas et en haut, \[\begin{aligned} \frac{\sqrt{n}(n-1)}{\sqrt{n^{3}+n}+\sqrt{n^{3}+1}} &= \frac{\sqrt{n}n(1-\frac1n)}{\sqrt{n^3(1+\frac{1}{n^2})} +\sqrt{n^3(1+\frac{1}{n^3})}}\\ &= \frac{n^{3/2}(1-\frac1n)}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} +n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}}\\ &= \frac{1-\frac1n}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} +\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}}\,. \end{aligned}\] Ainsi, \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}(n-1)}{\sqrt{n^{3}+n}+\sqrt{n^{3}+1}}&\\ = \lim_{n\to\infty}& \frac{1-\frac1n}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} +\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}} =\frac{1}{1+1}=\frac12\,. \end{aligned}\]