on a au numérateur quelque chose de borné, qui est divisé par quelque chose qui devient grand à mesure que \(n\) augmente.
on est en présence d'un quotient de deux nombres, \(n!\) et \(n^n\), qui deviennent grands lorsque \(n\) grandit. Mais si on regarde de près, en écrivant précisément ce que sont \(n!\) et \(n^n\), on arrive à trouver des bons gendarmes en faisant quelques majorations.
il faut d'abord deviner ce que doit être la limite... ...
Un argument informel pour commencer: dans la racine, le ''\(1\)'' devient négligeable par rapport à \(2^n\), donc en gros, pour \(n\) grand, \(a_n\) est à peu près égal à... ...
... à \(\sqrt[n]{2^n}=2\). Ceci suggère que la limite existe et vaut \(2\). Il reste à trouver deux gendarmes dont la limite commune vaut \(2\).
Remarque: Dans cette dernière limite, on a ''passé la limite dedans'', en faisant \[ \lim_{n\to\infty}2^{\frac{n+1}{n}}=2^1=2\,. \] Pour justifier ceci, nous devrons plus tard invoquer le fait suivant: la fonction \(x\mapsto 2^x\) est continue au point \(x_0=1\).