Exercice 04-11
Calculer \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n\) et \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} x_n\) pour les suites \((x_n)\) définies ci-dessous.
  1. \(\displaystyle x_n= \frac{n+\sin(n)}{n}\)
  2. \(x_n= \frac{1}{n^2+1}\) si \(n\) est impair, \(x_n:= (-1)^{n/2}\) si \(n\) est pair
  3. \(\displaystyle x_n=(-1)^n+\sin(n\tfrac{\pi}{2})\)
Les limites inférieures/supérieures sont introduites ici.

Ici, on pourra se baser simplement sur les particularités de la suite pour calculer ces limites inférieures/supérieures.
  1. Remarquons que cette suite est convergente, puisque \[ \lim_{n\to \infty} x_n= \lim_{n\to \infty}\frac{n+\sin(n)}{n}= \lim_{n\to \infty}\Bigl(1+\frac{\sin(n)}{n}\Bigr)\,, \] et comme \(\sin(n)\) est bornée, on a \(\lim_{n\to \infty} x_n=1\).

    Donc par un résultat vu au cours, \(\liminf_nx_n=\limsup_nx_n=1\).
  2. Remarquons que
    • Le long des impairs, \(x_{2k+1}=\frac{1}{(2k+1)^2+1}\).
    • Le long des pairs, \(x_{2k}=(-1)^k\).
    Mais puisque \(0\lt \frac{1}{(2k+1)^2+1}\lt 1\) pour tout \(k\geqslant 1\), ceci implique que \(M_n=+1\) et \(m_n=-1\) pour tout \(n\), et donc \[ \liminf_{n\to \infty}x_n=-1\,,\qquad \limsup_{n\to \infty}x_n=+1\,. \]
  3. Écrivons quelques-uns des premiers termes de la suite, en partant de \(x_1=0\): \[ 0,\, 1,\, -2,\, 1,\, 0,\, 1,\, -2,\, 1,\, 0\,\dots \] Donc \(\limsup_{n\to\infty}x_n=1\), et \(\liminf_{n\to\infty}x_n=-2\).