Exercice 03-02
Soit \((x_n)\) la suite dont le terme général est défini par
\[
x_n:=
\frac{an+b}{cn+d}\,,
\]
où \(a,b,c,d\) sont des constantes positives. Montrer que
\((x_n)\) est croissante si et seulement si \(ad-bc\geqslant 0\).
Calculons:
\[\begin{aligned}
x_{n+1}-x_n&=
\frac{a(n+1)+b}{c(n+1)+d}-\frac{an+b}{cn+d}\\
&=\frac{ad-bc}{(cn+c+d)(cn+d)}\,,
\end{aligned}\]
qui est \(\geqslant 0\) si et seulement si \(ad-bc\geqslant 0\).
(Remarquons que tout ce qui est au dénominateur est positif.)