Dans le
critère de la limite du quotient,
on veut étudier une série
\(\sum_na_n\) (à termes positifs) à l'aide d'une série \(\sum_nb_n\) (aussi à
termes positifs) plus simple, et telle que
\[
\frac{a_n}{b_n}\to \alpha\gt 0\,.
\]
Ce qui nous guide, dans la recherche d'une bonne suite \(b_n\), est de
comprendre les parties dominantes de \(a_n\). Donc on essaiera de définir
\(b_n\) en ne gardant dans \(a_n\) que les termes dominants. Après, il faut bien
sûr vérifier que \(\frac{a_n}{b_n}\) a une limite strictement positive pour
pouvoir relier les deux séries.
Pour 1.
On voit que dans \(a_n\), ce qui domine est \(n^3\) au numérateur, et
\(n^4\) au dénominateur. On peut donc poser
\[
b_n:= \frac{n^3}{n^4}=\frac{1}{n}\,.
\]
Pour 3.
Relire l'exemple donné ici.