Bien sûr, on sait depuis
longtemps que la série géométrique
\[
1+q+q^2+q^3+\cdots
\]
converge si et seulement si \(|q|\lt 1\). Dans cet exercice, il s'agit de
redémontrer ce résultat à l'aide des résultats vus dans ce chapitre sur les
séries.
On est donc en train de considérer une série de terme général \(a_n=q^n\).
Critère de d'Alembert:
Si \(q=0\) la série converge bien-sûr, et si \(q\neq 0\) on calcule
\[
\rho=
\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
=\lim_{n\to\infty}\left| \frac{q^{n+1}}{q^{n}}\right| =|q|.
\]
Donc par le critère, la série géométrique converge absolument si \(|q|<1\) (la
convergence absolue pour \(q=0\) est triviale) et diverge si \(|q|>1\). Si \(|q|=1\),
la série diverge aussi, car \(a_n\) ne tend pas vers zéro.
Critère de Cauchy: on calcule
\[
\sigma=
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|q^{n}|}=|q|.
\]
Donc par le critère, la série converge absolument pour \(|q|<1\) et diverge pour
\(|q|>1\). Si \(|q|=1\), la série diverge aussi, car
\(\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\neq 0\).