On a vu qu'une fonction \(f(x)\) qui est définie à l'aide d'une série dont chaque terme dépend du paramètre \(x\in I\), \[ f(x)=\sum_n a_n(x) \] possède un domaine donné par \[ D(f)=\Bigl\{ x\in I\,\Big|\,\sum_{n}a_n(x)\text{ converge} \Bigr\}\,. \] Donc dans cet exercice, on étudie la convergence de séries dont le terme général dépend de \(x\). On pourra utiliser les méthodes habituelles pour déterminer les \(x\) pour lesquels la série converge. La nouveauté est donc d'utiliser les critères vus au cours (série géométrique, d'Alembert, etc) pour un \(x\) fixé.

Puisqu'on voudra savoir quels sont exactement les \(x\) pour lesquels la série converge, il faudra faire attention, lors de l'utilisation de certains critères, à traiter séparément les cas pour lesquels le critère ne permet pas de conclure (par exemple, lorsque \(\rho=1\) dans le critère de d'Alembert). Pour la 7. Pour la 8.

1. C'est une série géométrique de raison \(r(x)=\frac{1}{x}\), donc bien définie si \(x\neq 0\), et convergente si et seulement si \(|r(x)|\lt 1\), c'est-à-dire \(|x|\gt 1\). Donc \(D(f)=]-\infty,-1[\cup ]1,\infty[\).
2. La série \(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{x}{1-x})^{n}\) est géométrique de raison \(r(x)=\frac{x}{1-x}\), et donc converge absolument si et seulement si \[|r(x)|=\left|\frac{x}{1-x}\right|\lt 1\,.\] Or cette inéquation est équivalente à \(-1\lt\frac{x}{1-x}\lt 1\), dont la solution est \(x\lt\frac{1}{2}\). Donc \(D(f)=]-\infty,\frac12[\).
3. Comme \(\sum_{n=1}^{\infty}(x-a)^n\) est une série géométrique de raison \(r(x)=x-a\), elle converge si et seulement si \(r(x)\lt1\). Donc \[\begin{aligned} D(f) &=\{x\in\mathbb{R}\,:\,|x-a|\lt 1\}\\ &=\{x\in\mathbb{R}\,:\,-1\lt x-a\lt 1\}\\ &=]a-1,a+1[\,. \end{aligned}\]
4. Si \(x=0\), la série converge, clairement. Si \(x\neq 0\), on peut calculer \[ \rho(x)=\lim_{n\to\infty} \Bigl| \frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\Bigr| =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=|x|, \] ce qui nous permet de conclure, grâce au critère de d'Alembert, que la série converge absolument si \(|x|\lt1\) et qu'elle diverge si \(|x|\gt1\). Si \(x=\pm 1\), la série diverge, car son terme général est \(n(-1)^n\), qui ne tend pas vers zéro. Donc \(D(f)=]-1,1[\).
5. Si \(x=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{Z}\), on a \(|(\sin(\frac{\pi x}{2}))^{n}| =1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et donc la série diverge. Mais si il n'existe aucun \(k\in \mathbb{Z}\) tel que \(x= 2k+1\) alors par le critère de Cauchy \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=| \sin(\tfrac{\pi x}{2})|\lt 1, \] et donc la série converge absolument. Donc \[D(f)=\mathbb{R}\setminus\{2k+1\,|\,k\in \mathbb{Z}\}\,.\]
6. La série diverge pour toute valeur de \(x\), puisque son terme général \(a_n(x)=(1+x^2)^n\geqslant 1^n=1\) (et donc ne tend pas vers zéro). \(D(f)=\varnothing\).
7. Si \(x\neq 0\), alors \[0\lt a_n(x)=\frac{e^{-x^2 n}}{n} \leqslant e^{-x^2 n}=:b_n\,,\] et \(\sum_nb_n\) est une série géométrique de raison \(r(x)=e^{-x^2}\lt 1\), donc converge, donc la série converge. Mais si \(x=0\), alors \(a_n(0)=\frac{1}{n}\), donc la série est la série harmonique, qui diverge. Donc \(D(f)=\mathbb{R}^*\).
8. Pour \(x=0\), la série converge; donc on considère \(x\neq 0\). \[\begin{aligned} \rho(x)= \lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right| &= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{x^n n!} \right| \\ &= \lim_{n\to\infty} \left|x\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\\ &=\frac{|x|}{e}. \end{aligned}\] Ainsi la série converge absolument si \(|x|\lt e\) et elle diverge si \(|x|\gt e\).
   
   Si \(x=\pm e\), la suite des valeurs absolues \((|a_n|)_{n\geqslant 1}\) est croissante: \[ |a_{n+1}| = |a_{n}|\cdot\frac{e}{(1+\frac{1}{n})^{n}} \gt |a_{n}| \] car la suite \(b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}\) croît vers \(e\). Comme \(|a_{1}|=|x|=e\), il suit que \(\lim_{n\to \infty} a_{n}\neq 0\), donc la série diverge.
   
   En conclusion, \(D(f)=]-e,e[\).