On a tout un atirail de techniques à disposition pour étudier la convergence
d'une série donnée:
- critère de comparaison (certainement le plus utilisé)
- critère de Leibniz
- critère de d'Alembert
- critère de Cauchy
- etc.
Les séries ''de référence'', celles avec lesquelles on espère le plus pouvoir
faire une comparaison, sont les
séries du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\),
et les séries géométriques.
Pour une série donnée, personne
ne vous dit quel critère vous devez utiliser. Comme
j'ai expliqué au cours, l'allure du terme général suggère souvent de lui-même
quel critère peut avoir des chances de fonctionner.
À vous de voir!
Pour 3.
\[
\sin(x)^2=\frac{1-\cos(2x)}{2}\,.
\]
Pour 4.
Après avoir sélectionné un certain critère (il y en a un qui saute aux yeux
étant donné l'allure de ce terme général), on pourra
utiliser cette égalité:
\[\begin{aligned}
1-\frac{2}{n}
&=\frac{n-2}{n}\\
&=\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}\\
&=\frac{1}{\frac{n-1}{n-2}}\cdot\frac{1}{\frac{n}{n-1}}\\
&=\frac{1}{1+\frac{1}{n-2}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}}
\end{aligned}\]
Oui, il saute vraiment aux yeux.
Si j'ai une puissance \(n^2\), il est clair que prendre une racine \(n\)ème est
intéressant.
Pour 5.