Déterminer, parmi les séries ci-dessous, celles qui convergent ou divergent, en
les comparant (lorsque c'est possible) à d'autres séries connues.
- \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{n^2+1}\)
- \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{e^n+n}\)
- \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\bigl(1-\tfrac{n^2}{3n^2+3}\bigr)^n\)
- \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 2}\frac{\sqrt[3]{n^3+2n}}{n^2-1}\)
Le
critère de comparaison est de
loin le critère le plus utilisé puisqu'il permet d'étudier la convergence d'une
série à termes positifs avec la convergence d'une autre série à termes positifs.
Et le but est de toujours pouvoir comparer les séries
terme à terme.
- Si on veut montrer qu'une série à termes positifs \(\sum_na_n\)
converge,
on pourra chercher une suite \((b_n)\) telle que \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\) et telle que
\(\sum_nb_n\) converge.
- Si on veut montrer qu'une série à termes positifs \(\sum_na_n\)
diverge,
on pourra chercher une suite \((b_n)\) telle que \(a_n\geqslant b_n\geqslant 0\)
telle que \(\sum_nb_n\) diverge.
Dans les deux cas, on espère que la série \(\sum_nb_n\) est plus ''simple'', et
que sa convergence/divergence se déduit à partir d'autres exemples déjà
considérés.
Il faudra un certain flair, et arriver à identifier ce qui fait qu'une
série donnée doit converger ou diverger (là, la connaissance des exemples de
base du cours est essentielle). Ensuite, on cherchera à
utiliser une bonne comparaison pour conclure.