Exercice 02-02
Montrer les propriétés ci-dessous.
  1. \(|-x|=|x|\)
  2. \(-|x|\leqslant x\leqslant |x|\)
  3. Pour toute paire \(x,y\in \mathbb{R}\), \[\begin{aligned} \max\{x,y\}&=\tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)\,,\\ \min\{x,y\}&=\tfrac12\bigl(x+y-|x-y|\bigr)\,. \end{aligned}\]
Pour rappel (voir ici), la valeur absolue de \(x\in \mathbb{R}\) est définie comme étant \[|x|:= \begin{cases} x&\text{ si }x\gt 0\,,\\ 0&\text{ si }x= 0\,,\\ -x&\text{ si }x\lt 0\,, \end{cases} \] Pour démontrer des propriétés de la valeur absolue, il suffit de partir de la définition de \(|a|\), puis de considérer séparément les cas \(a\gt 0\), \(a=0\), \(a\lt 0\).

on pourra distinguer les cas, \(x\geqslant y\), ou \(x\lt y\), puis simplement expliciter ce qui se trouve de part et d'autre de l'identité.

... alors le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=x\).

Remarquons qu'on peut aussi résoudre le point 3 avec un argument purement géométrique.

\(\frac{x+y}{2}\) représente le point milieu de \(x\) et \(y\), et \(|x-y|\) est la distance qui les sépare.

  1. Si \(x=0\), il n'y a rien à démontrer (puisque \(|0|=0\)). Si \(x\gt 0\), alors d'une part \(|x|=x\), et d'autre part \(-x\lt 0\), ce qui implique \(|-x|=-(-x)=x\), et donc \(|-x|=|x|\). Si \(x\lt 0\), alors d'une part \(|x|=-x\), et d'autre part \(-x\gt 0\), ce qui implique \(|-x|=-x\), et donc \(|-x|=|x|\).
  2. Si \(x=0\), il n'y a rien à démontrer. Si \(x\gt 0\), alors \(x=|x|\) (qui implique \(x\leqslant |x|\)), et \(-|x|\lt 0\leqslant x\). Si \(x\lt 0\), même argument.
  3. Montrons la première identité (la deuxième se démontre de manière semblable). Il suffit d'examiner les cas possibles. Si \(x\geqslant y\), le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=x\), et le côté droit vaut \[ \tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\tfrac12\bigl(x+y+(x-y)\bigr)=\frac{2x}{2}=x\,. \] Si \(x\leqslant y\), le côté gauche vaut \(\max\{x,y\}=y\), et le côté droit vaut \[ \tfrac12\bigl(x+y+|x-y|\bigr)=\tfrac12\bigl(x+y-(x-y)\bigr)=\frac{2y}{2}=y\,. \] On peut aussi résoudre ce problème de manière plus géométrique: si \(x\) et \(y\) sont deux points sur la droite, \(m:= \frac{x+y}{2}\) est leur point milieu, \(d=|x-y|\) est la distance qui les sépare. Il est clair que celui qui est le plus à droite (c'est-à-dire le maximum) est donné par \(m+\frac{d}{2}\), et celui qui est le plus à gauche (c'est-à-dire le minimum) est \(m-\frac{d}{2}\).